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| Aufgabe | Es sei X eine beliebige Menge und T die diskrete Topologie
auf X. Diese Topologie ist Hausdorff, in der Tat, für gegebene
x [mm] \not= [/mm] y können wir U = {x} und V = {y} wählen.
(Diskrete Topologie, (X, [mm] \tau), \tau [/mm] = [mm] 2^x [/mm] (potenzmenge= Familie der Teilmengen) |
Hallo,
Kann man das nicht in jeder Topologie so machen?
Wieso geht das gerade hier so?
Was bedeutet die diskrete Topologie genau?
Ich verstehe das nicht ganz..
LG
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Hallo,
> Es sei X eine beliebige Menge und T die diskrete Topologie
> auf X. Diese Topologie ist Hausdorff, in der Tat, für
> gegebene
> x [mm]\not=[/mm] y können wir U = {x} und V = {y} wählen.
> (Diskrete Topologie, (X, [mm]\tau), \tau[/mm] = [mm]2^x[/mm] (potenzmenge=
> Familie der Teilmengen)
> Kann man das nicht in jeder Topologie so machen?
Nein.
Ein topologischer Raum (X, [mm] \tau) [/mm] besteht aus zwei Komponenten. $X$ ist der Grundraum und [mm] $\tau$ [/mm] die Topologie. [mm] $\tau$ [/mm] ist eine Menge von Teilmengen von $X$. Sie gibt an, welche Teilmengen von $X$ offen sind.
Die diskrete Topologie ist definiert dadurch, dass ALLE Teilmengen von $X$ offen sind, d.h. [mm] $\tau$ [/mm] ist die Potenzmenge von $X$.
Deswegen kann man für zwei verschiedene Punkte $x,y [mm] \in [/mm] X$ auch [mm] $\{x\}, \{y\}$ [/mm] als offene Mengen wählen, die $x$ bzw. $y$ beinhalten.
Im Allgemeinen (d.h. bei anderen Topologien) muessen [mm] $\{x\}, \{y\}$ [/mm] keine offenen Mengen mehr sein.
Beispielsweise ist in [mm] \IR [/mm] (ausgestattet mit der üblichen Topologie) die Menge [mm] $\{x\}$ [/mm] nicht offen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 So 10.02.2013 | | Autor: | theresetom |
Ah vielen Dank.
Der Post hat mich sehr weitergebracht... Hätte der Lehrer auch mal so sagen sollen ;)
Lg
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