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| Aufgabe | Wir definieren auf einer beliebigen Menge X
[mm] d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = y \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x \not= y \mbox{} \end{cases}
[/mm]
(i) Man zeige, dass d eine Metrik definiert (d heißt diskrete Metrik).
(ii) Man zeichne für den Spezialfall X = [mm] R^{2} [/mm] die e-Umgebungen um [mm] x_{0} [/mm] = (2, 3) mit
e = 1/2 bzw. e = 2.
(iii) Welche Mengen sind bezüglich d offen?
(iv) Man zeige, dass für jede Teilmenge A ⊂ X die Funktion [mm] I_{A} [/mm] : X → R definiert durch
[mm] I_{A}(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = y \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x \not= y \mbox{} \end{cases}
[/mm]
stetig bezüglich d ist. |
Hallo,
Ich habe mal ein paar Fragen zu dieser Aufgabe:
(iii) Meiner Meinung nach ist jede Menge bezüglich d offen.
Sei M Teilmenge von X und x aus M. Sei nun
{y|d(x,y)<1/2}={x} und das liegt ganz in M, d.h., eine epsilon-Umgebung (eps=1/2) von x liegt auch ganz in M .
Ist das so richtig, ich bin da leider überhaupt nicht sicher.
Bei (iv) weiss ich leider gar nicht, wie ich rangehen soll.
ich hatte erst überlegt, die stetigkeit mit dem satz: "f ist stetig, wenn die Urbilder offener Menegn offen sind " zu überprüfen.
aber der funlktioniert nur in topologischen Räumen, oder?
und mit der [mm] \varepsilon-\delta [/mm] Stetigkeit hab ich gar nichts hinbekommen.
Ich hoffe es kann mir jemand helfen.
MFG
Nathenatiker
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In der Tat ist jede Teilmenge von X offen bzgl. der diskreten Metrik. Genauer, seien M [mm] \subset [/mm] X und [mm] x_0 \in [/mm] M. Dann gilt für r [mm] \in [/mm] (0,1)
[mm] \{ x \in X | d(x,x_0) < r \} [/mm] = [mm] \{ x_0 \} \subset [/mm] M,
d.h. M ist offen.
Zu Stetigkeit: Ich nehme mal an, die Abbildung [mm] I_A [/mm] ist entgegen Deiner Angabe eingeschränkt auf A [mm] \subset [/mm] X zu betrachten. Dann ist jedenfalls
| [mm] I_A(x) [/mm] - [mm] I_A(y) [/mm] | = [mm] \begin{cases} 0, & x = y \\ 1, & x \neq y \end{cases} [/mm] = d(x,y)
für alle x,y [mm] \in [/mm] A. Damit ist [mm] I_A [/mm] : A [mm] \rightarrow [/mm] R sogar Lipschitzstetig.
Hoffe, dass hilft weiter.
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Hallo,
erstmal danke für deine Antwort, aber deine Argumetation zur Stetigkeit hab ich irgendwie nicht verstanden?!
Mein Problem ist wahrscheinlich, dass ich mir das ganze irgendwie nicht vorstellen kann.
Und warum soll das ganze dann lipschitzstetig sein?
Würde mich freuen wenn du mir das nochmal erklären könntest.
MFG
Nathenatiker
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Ich habe mir die Aufgabe noch einmal angesehen und denke mit der Funktion [mm] I_A [/mm] : X [mm] \rightarrow [/mm] R ist folgendes gemeint:
[mm] I_A(x) [/mm] := [mm] \begin{cases} 1, & x \in A \\ 0, & x \neq A \end{cases}
[/mm]
mit einer Teilmenge A [mm] \subset [/mm] X.
Wir nennen die Funktion [mm] I_A [/mm] stetig in einem Punkt [mm] x_0 \in [/mm] X, falls für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] = [mm] \delta_{x_0,\varepsilon} [/mm] > 0 existiert, so dass | [mm] I_A(x_0) [/mm] - [mm] I_A(x) [/mm] | [mm] \leq \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] X mit [mm] d(x,x_0) [/mm] < [mm] \delta [/mm] erfüllt ist.
Seien also [mm] x_0 \in [/mm] X und [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig gewählt. Wir setzen beispielsweise [mm] \delta [/mm] = 1/2. Dann ist
B := [mm] \{ x \in X | d(x,x_0) < \delta \} [/mm] = [mm] \{ x_0 \}
[/mm]
und somit
| [mm] I_A(x_0) [/mm] - [mm] I_A(x) [/mm] | = | [mm] I_A(x_0) [/mm] - [mm] I_A(x_0) [/mm] | = 0 < [mm] \varepsilon
[/mm]
für alle x [mm] \in [/mm] B, d.h. [mm] I_A [/mm] ist stetig in [mm] x_0.
[/mm]
Zur Lipschitzstetigkeit: Für x,y [mm] \in [/mm] X gilt nach obiger Definition
| [mm] I_A(x) [/mm] - [mm] I_A(y) [/mm] | = [mm] \begin{cases} 0, & x = y \\ 0, & x \neq y; x,y \in A \\
1, & x \not \in A, y \in A \\ 1, & x \in A, y \not \in A \end{cases}.
[/mm]
Es folgt
| [mm] I_A(x) [/mm] - [mm] I_A(y) [/mm] | = d(x,y),
d.h. [mm] I_A [/mm] ist Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstanten L=1.
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Vielen dank,
jetzt hab ichs auch verstanden.
MFG
Nathenatiker
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