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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:28 Di 23.12.2008 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Betrachtet werde das elliptische Dirichlet-Problem:
[mm] $-\Delta [/mm] u(x,y)=f(x,y,u(x,y))$, [mm] $(x,y)\in\Omega:=(a,b)^2$
[/mm]
u=0 auf [mm] \partial\Omega.
[/mm]
Dies ist zu lösen mit dem Mehrstellenverfahren:
[mm] $1/h^2(4u_{i,j}-u_{i-1,j}-u_{i+1,j}-u_{i,j-1}-u_{i,j+1}) [/mm] = [mm] 1/12(8f_{i,j}+f_{i-1,j}+f_{i+1,j}+f_{i,j-1}+f_{i,j+1})$, i,j=1,2,\ldots,N-1
[/mm]
Man implementiere die Diskretisierung wobei die rechte Seite der Form
[mm] $f(x,y,u(x,y))=g(x,y)+e^{-u}$
[/mm]
mit g derart, dass
[mm] u(x,y)=\bruch{x(1-x)}{1+x^2}*sin(\pi*y)
[/mm]
Lösung der Aufgabe ist. |
Hallo,
Das Problem ist dieses [mm] e^{-u}.
[/mm]
Würde die rechte Seite nicht von u abhängen, wäre die Lösung klar.
Ganz normal mit dem 5-Punkt-Differenzenstern.
Aber wie mach ich das mit [mm] e^{-u}? [/mm] Ich habe die Lösung, die rauskommen soll einfach mal in
[mm] $-\Delta u(x,y)-e^{-u}$
[/mm]
eingesetzt und komme auf mein g. Der Schritt ist klar. Aber dieses Verfahren was gegeben ist, kann ich ja nicht wirklich anwenden, wenn das u noch in f vorkommt. Die linke Seite von der Diskretisierung representiert ja nur den Laplace-Operator. Ich bin vollkommen verzweifelt und denke ich habe vielleicht die Aufgabe nicht richtig verstanden.
Kann mir bitte jemand helfen?
Vielen Dank schonmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Di 23.12.2008 | | Autor: | max3000 |
Hab grad nochmal auf die Übungshomepage geschaut.
Da steht ein Hinweis:
Es ist analytisch die Funktion g(x,y) zu bestimmen.
Nur diese wird dann dem Programm zur Verfügung stehen, d.h. es ist das nichtlineare GS
[mm] $-\Delta [/mm] u-exp(-u)=g(x,y)$
zu lösen.
Ich nehme an g diskretisiere ich dann wie die rechte Seite von der Diskretisierungsgleichung und exp? Keine Ahnung. Würd ja jetzt spontan Newtonverfahren vorschlagen, aber so richtig blicke ich hier immer noch nicht durch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Fr 26.12.2008 | | Autor: | max3000 |
Hallo,
hab es nach langem überlegen doch hinbekommen.
Der Trick war, man kommt auf
[mm] $\Delta u_{i,j} [/mm] + [mm] 1/12(8e^{-u_{i,j}}+e^{-u_{i-1,j}}+\ldots) [/mm] + [mm] 1/12(8g(x_i,y_j)+g(x_i,y_{j-1})+\ldots)=0 [/mm] $
also ein nichtlineares Gleichungssystem mit [mm] (N-1)^2 [/mm] unbekannten.
Darauf dann 6 mal Newton-Verfahren angewendet und man kommt ziemlich genau auf die Lösung.
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