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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:47 So 24.11.2013 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass es keine zwei verschiedenen Lösungen des Dirichletproblems
$ [mm] \Delta [/mm] u = f $ in $ U $
$ u = g $ auf $ [mm] \partial [/mm] U $
geben kann, ohne das Maximumsprinzip zu verwenden. Betrachten Sie das Integral $ [mm] \int_{U} [/mm] w [mm] \Delta [/mm] w $, wobei w die Differenz zweier Lösungen sei. |
Hallo!
Das sieht doch verdammt nach den Greenschen Formeln aus, aber ich weiß irgendwie nicht, wie ich die da anwenden muss, um auf w=0 zu kommen. Das obige Integral ist ja schonmal 0, da w harmonisch ist.
Mit der 1. GF kriegt man
[mm] \int_{U} |\nabla w|^{2} [/mm] = [mm] \int_{\partial U} [/mm] w [mm] \frac{\partial w}{\partial \nu}
[/mm]
was nicht zu helfen scheint.
Und mit der zweiten GF, wenn ich das obige Integral betrachte, steht da nur Integral über 0 gleich Integral über 0. Ja super. -.-
Hab w auch mal als u-v geschrieben und das obige Integral ein bisschen aufgespalten und komm dann zu
$ 0= [mm] \int_{\partial U} [/mm] w [mm] \frac{\partial w}{\partial \nu}+ [/mm] 2 [mm] \int_{U} \nabla [/mm] u [mm] \cdot \nabla [/mm] v - [mm] \int_{U} (|\nabla u|^{2}+ |\nabla v|^{2}) [/mm] $
Scheint auch nicht zu helfen. Und ich weiß ehrlich gesagt auch nicht, wie ich mit diesem Integral zu etwas kommen sollte, woraus die Aussage folgt. Nützlich wäre sowas wie das Integral über Betrag w, aber wie soll man von dem obigen ausgehend dahinkommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 28.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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