Dirichlet-Kriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:30 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Mit dem Kriterium soll man zeigen (cos(x) [mm] \not= [/mm] 1)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} sin(nx)(\wurzel{n^{2}+2}-\wurzel{n^{2}+1}) [/mm] |
Hallo.
Kann mir da jemand helfen?
Verstehe dieses Kriterium einfach nicht, allein schon die Defintion. :(
Kann mir das bitte jemand erklären und mir dann sagen, wie man an die Aufgabe herangehen kann.
Danke sehr. Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Das
"Die Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty} a_k b_k [/mm] mit [mm] a_k [/mm] , [mm] b_k \, \epsilon \, \mathbb{R} [/mm] konvergiert, wenn [mm] (a_k) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist und die Partialsummen [mm] \sum_{k=1}^{n} b_k [/mm] eine beschränkte Folge bilden."
ist das Dirichletkriterium. Was ist Dir daran unklar ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Weiß nicht. Irgendwie versteh ich das nicht ganz.
Wäre dann [mm] a_{k} [/mm] mein sin(nx) und [mm] b_{k} [/mm] das andere?
Aber wie kann man denn zeigen, dass sin(nx) monoton fallend ist, denn das müsste ich ja dann. Oder? Also stimmt meine Idee?
EDIT: Sry genau andersrum sin(nx) ist [mm] b_{k}, [/mm] aber wie zeige ich, dass der sin(nx) beschränkt ist. Mit Sandwich-Lemma? Das [mm] a_{k} [/mm] NUllfolge ist, versuche ich jetzt mal ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Mir war von Anfang an nicht klar, was Du zeigen sollst.
Schreib die Aufgabenstellung mal komplett hin
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:46 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ah sry, ich dachte, das wäre wegen dem Kriterium klar. Also, zu zeigen ist die Konvergenz für x [mm] \in \IR [/mm] (halt mit diesem Kriterium). Die Folge steht aber richtig da ;) Aber hast schon recht, hätte ich hinschreiben müssen, sry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 18.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo SolRakt!
Die Sinusfunktion an sich ist doch bekanntermaßen beschränkt mit [mm]\left| \ \sin(x) \ \right| \ \le \ 1[/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:44 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
An Roadrunner: Ja das hab ich auch gedacht, aber man muss das doch noch irgendwie (toll) abschätzen? Kannst du mir zeigen wie das geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 18.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Weiß nicht. Irgendwie versteh ich das nicht ganz.
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> Wäre dann [mm]a_{k}[/mm] mein sin(nx) und [mm]b_{k}[/mm] das andere?
>
> Aber wie kann man denn zeigen, dass sin(nx) monoton fallend
> ist, denn das müsste ich ja dann. Oder? Also stimmt meine
> Idee?
>
> EDIT: Sry genau andersrum sin(nx) ist [mm]b_{k},[/mm]
Genau. [mm] b_n=sin(nx)
[/mm]
> aber wie zeige
> ich, dass der sin(nx) beschränkt ist.
Du mußt zeigen: [mm] (\summe_{k=1}^{n}sin(kx))_n [/mm] ist beschränkt !
Es gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}sin(kx)= \bruch{sin(\bruch{nx}{2})*sin(\bruch{(n+1)x}{2})}{sin(x/2)}
[/mm]
Siehe auch hier: http://www.math.upenn.edu/~kazdan/202F09/sum-sin_kx.pdf
> Mit Sandwich-Lemma?
> Das [mm]a_{k}[/mm] NUllfolge ist, versuche ich jetzt mal ;)
Tu das.
FRED
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:11 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Darf man die Formel denn einfach so benutzen?
Und wie soll ich daran zeigen, dass die bschränkt ist? Kannst du mir da einen Tipp geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 18.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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