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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mo 14.08.2006 | | Autor: | kathrine |
| Aufgabe | G Gruppe
a) jede Untergruppe von G x G ist normal => G ist abelsch?
b) jede Untergruppe von G ist normal => G abelsch?
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Hallo ihr fleissigen Mathematiker!
wieder einmal eine Staatsexamensaufgabe zum Lösen. Mir scheint die Lösung müsste absolut elementar sein, aber leider komm ich nicht dahinter. habe schon alles mögliche probiert über die Elemente und von ihnen erzeugte zyklische Untergruppen..
hättet ihr da ne idee?
LG katrin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mo 14.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Katrin!
> G Gruppe
> a) jede Untergruppe von G x G ist normal => G ist
> abelsch?
Seien $x, y [mm] \in [/mm] G$ beliebig. Schau dir die von $(x, e)$ erzeugte Untergruppe $H$ an ($e$ sei das neutrale Element). Diese ist ein Normalteiler, also gilt $(y, y) H = H (y, y)$, und insb. $(y, y) (x, e) [mm] \in [/mm] H (y, y)$.
Kannst du damit was anfangen?
> b) jede Untergruppe von G ist normal => G abelsch?
Ich vermute mal, das stimmt nicht. Mir faellt aber grad kein Gegenbeispiel ein...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mo 14.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix und Katrin,
hab auch schon an dieser Aufgabe rumgeknobelt...
>
> > G Gruppe
> > a) jede Untergruppe von G x G ist normal => G ist
> > abelsch?
>
> Seien [mm]x, y \in G[/mm] beliebig. Schau dir die von [mm](x, e)[/mm]
> erzeugte Untergruppe [mm]H[/mm] an ([mm]e[/mm] sei das neutrale Element).
> Diese ist ein Normalteiler, also gilt [mm](y, y) H = H (y, y)[/mm],
> und insb. [mm](y, y) (x, e) \in H (y, y)[/mm].
Hab ne Frage: Ich seh noch nicht, wie hieraus folgt, dass G abelsch: Gilt [mm](y, y) (x, e) \in H (y, y)[/mm] nicht auch, wenn [mm] yx=x^{-1}y?
[/mm]
Lg, Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mo 14.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> > > G Gruppe
> > > a) jede Untergruppe von G x G ist normal => G ist
> > > abelsch?
> >
> > Seien [mm]x, y \in G[/mm] beliebig. Schau dir die von [mm](x, e)[/mm]
> > erzeugte Untergruppe [mm]H[/mm] an ([mm]e[/mm] sei das neutrale Element).
> > Diese ist ein Normalteiler, also gilt [mm](y, y) H = H (y, y)[/mm],
> > und insb. [mm](y, y) (x, e) \in H (y, y)[/mm].
>
> Hab ne Frage: Ich seh noch nicht, wie hieraus folgt, dass G
> abelsch: Gilt [mm](y, y) (x, e) \in H (y, y)[/mm] nicht auch, wenn
> [mm]yx=x^{-1}y?[/mm]
Ah, stimmt, du hast Recht! Das sollte genau andersherum sein: $H$ wird von $(x, x)$ erzeugt, und man multipliziert mit $(y, e)$.
Vielen Dank fuer den Hinweis!
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mo 14.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Katrin!
> G Gruppe
> a) jede Untergruppe von G x G ist normal => G ist
> abelsch?
> b) jede Untergruppe von G ist normal => G abelsch?
Ich hab mal jemand anders gefragt und er meinte, das die Quaternionengruppe (mit 8 Elementen) es vielleicht als Gegenbeispiel tut. Ich hab auch noch etwas drueber nachdedacht und denke er hat recht. Versuch es doch mal mit ihr.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Mo 14.08.2006 | | Autor: | kathrine |
super danke, Felix!
du bist ja unermüdlich am Schaffen!!!
für die Frage b) hab ich auch schon ewig rumgedocktert, wg Bsp. a) ist ja echt nicht schwer - aber manchmal steht man halt aufm schlauch.
mir war eben bei der b) nicht klar, ob wirklich alle Untergruppen der Ordnung 2 von der Quaternionengruppe Normalteiler sind...
Liebe Grüße von der katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mo 14.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Katrin!
> mir war eben bei der b) nicht klar, ob wirklich alle
> Untergruppen der Ordnung 2 von der Quaternionengruppe
> Normalteiler sind...
Der Trick ist das es nur genau eine solche Untergruppe gibt, und zwar die, die von -1 erzeugt wird (und dies ist gerade das Zentrum der Gruppe, also auch ein Normalteiler). Alle anderen Elemente (ausser 1 und -1) haben Ordnung 4, und Untergruppen mit Index 2 (also hier Untergruppen der Ordnung 4) sind immer Normalteiler... :)
Liebe Gruesse,
Felix
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