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| Aufgabe | 1. Aufgabe: Direkter und Indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis)
Wir wollen beweisen, dass für beliebige a>0 und b>0 die folgende Ungleichung gilt:
a/b + b/a [mm] \ge [/mm] 2
Direkter Beweis: Zeigen Sie die Behauptung direkt, d.h. starten Sie mit einer wahren Aussage und folgern Sie hieraus die Behauptung.
Starten Sie unter Verwendung einer binomischen Formel und leiten Sie hieraus die obige Ungleichung ab.
Indirekter Beweis oder Widerspruchsbeweis: Nehmen Sie nun an, die Behauptung wäre falsch, und führen Sie dies zu einem Widerspruch. Folgern Sie hieraus, dass die Behauptung stimmen muss. |
hallo,
also ich hab absolut keine ahnung, wie ich davon einen beweis durchführe. ich hab mir schon sachen aus der vorlesung angeguckt, aber irgendwie komme ich nicht drauf.
ich weiß, dass ich mit (a-b)² anfangen muss, aber das war es dann auch leider schon.
vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen mit guten erklärungen, damit ich es bei den anderen aufgaben selber schaffe 
vielen dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 1. Aufgabe: Direkter und Indirekter Beweis
> (Widerspruchsbeweis)
> Wir wollen beweisen, dass für beliebige a>0 und b>0 die
> folgende Ungleichung gilt:
> a/b + b/a [mm]\ge[/mm] 2
> Direkter Beweis: Zeigen Sie die Behauptung direkt, d.h.
> starten Sie mit einer wahren Aussage und folgern Sie
> hieraus die Behauptung.
> Starten Sie unter Verwendung einer binomischen Formel und
> leiten Sie hieraus die obige Ungleichung ab.
> Indirekter Beweis oder Widerspruchsbeweis: Nehmen Sie nun
> an, die Behauptung wäre falsch, und führen Sie dies zu
> einem Widerspruch. Folgern Sie hieraus, dass die Behauptung
> stimmen muss.
> hallo,
> also ich hab absolut keine ahnung, wie ich davon einen
> beweis durchführe. ich hab mir schon sachen aus der
> vorlesung angeguckt, aber irgendwie komme ich nicht drauf.
> ich weiß, dass ich mit (a-b)² anfangen muss
Falls du letzteres selber erkannt hast, steckt doch schon
der Keim der Lösung drin. Als Vorüberlegung kann man die
zu beweisende Ungleichung etwas umformen:
a/b + b/a [mm]\ge[/mm] 2 | gleichnamig machen
[mm] \bruch{a^2+b^2}{a*b}\ge [/mm] 2 | $*a*b$ (erlaubt, weil [mm] a*b\not= [/mm] 0)
[mm] a^2+b^2\ge [/mm] 2*a*b | -2*a*b
[mm] a^2-2*a*b+b^2 \ge [/mm] 0
[mm] (a-b)^2 \ge [/mm] 0
Um den Beweis als "direkten Beweis", also "vorwärts" zu
führen, kehrt man die Argumentationskette hier einfach
um, d.h. man startet bei der unbestreitbar richtigen
Aussage [mm] (a-b)^2 \ge [/mm] 0
Für den Widerspruchsbeweis fängst du mit der Annahme
a/b + b/a [mm]<[/mm] 2
also mit der Negation der Behauptung an, machst
ebenfalls die entsprechenden Umformungen (mit
den richtigen Ungleichheitszeichen) und zeigst, dass
die Annahme auf eine unerfüllbare Aussage führt.
Damit ist dann gezeigt, dass die ursprüngliche
Behauptung nicht falsch sein kann und nach dem
Prinzip "tertium non datur" wahr sein muss.
LG al-Chw.
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jetzt wo ich es sehe, ist es ja wirklich ganz einfach. vielen lieben dank werde es mit den anderen aufgaben mal selber versuchen.
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