Direkter Summand (Modul) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Di 06.01.2009 | | Autor: | Pawelos |
| Aufgabe | Es seien A ein Ring und M ein A-Modul. Ein direkter Summand von M ist
ein Untermodul N von M, so daß es einen Untermodul N' von M gibt mit M = N [mm] \oplus [/mm] N'.
Sei (m, n) [mm] \in \IZ^2 [/mm] mit (m, n) [mm] \not= [/mm] (0, 0). Zeigen Sie, daß der von (m, n) erzeugte Untermodul von [mm] \IZ^2 [/mm] genau dann ein direkter Summand ist, wenn der größte gemeinsame Teiler von m
und n gleich 1 ist.
Finden Sie zwei Untermoduln [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] von [mm] \IZ^2, [/mm] so daß [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2
[/mm]
direkte Summanden von [mm] \IZ^2 [/mm] sind, aber [mm] M_1 [/mm] + [mm] M_2 [/mm] kein direkter Summand von [mm] \IZ^2 [/mm] ist. |
HI
also den zweiten Teil der Aufgabe hab ich denke ich mal aber ich verstehe nicht ganz wie man so ein N' bekommt.
z.B. Sei N erzeugt von (1,1) dann ist ggT(1,1) = 1
als N' hab ich dann das von (1,0) erzeugte Modul. Dann klappt das auch mit [mm] \IZ^2 [/mm] = N [mm] \oplus [/mm] N'
Aber wenn N von (3,11) erzeugt ist, der ggT ist wieder 1 aber ich finde kein Element das N' erzeugen könnte und N' muss ja von einem Element erzeugt werden sonst bekommt man ja keine direkte Summe!??!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Di 06.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es seien A ein Ring und M ein A-Modul. Ein direkter Summand
> von M ist
> ein Untermodul N von M, so daß es einen Untermodul N' von
> M gibt mit M = N [mm]\oplus[/mm] N'.
> Sei (m, n) [mm]\in \IZ^2[/mm] mit (m, n) [mm]\not=[/mm] (0, 0). Zeigen Sie,
> daß der von (m, n) erzeugte Untermodul von [mm]\IZ^2[/mm] genau dann
> ein direkter Summand ist, wenn der größte gemeinsame Teiler
> von m
> und n gleich 1 ist.
> Finden Sie zwei Untermoduln [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] von [mm]\IZ^2,[/mm] so daß
> [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm]
> direkte Summanden von [mm]\IZ^2[/mm] sind, aber [mm]M_1[/mm] + [mm]M_2[/mm] kein
> direkter Summand von [mm]\IZ^2[/mm] ist.
>
> HI
> also den zweiten Teil der Aufgabe hab ich denke ich mal
> aber ich verstehe nicht ganz wie man so ein N' bekommt.
>
> z.B. Sei N erzeugt von (1,1) dann ist ggT(1,1) = 1
> als N' hab ich dann das von (1,0) erzeugte Modul. Dann
> klappt das auch mit [mm]\IZ^2[/mm] = N [mm]\oplus[/mm] N'
> Aber wenn N von (3,11) erzeugt ist, der ggT ist wieder 1
> aber ich finde kein Element das N' erzeugen könnte und N'
> muss ja von einem Element erzeugt werden sonst bekommt man
> ja keine direkte Summe!??!
Nun, es gibt doch $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $3 a + 11 b = 1$. Probier doch mal den Vektor $(-b, a)$ und den davon erzeugten Untermodul.
Oder anders: zeige, dass folgende Bedingungen aequvialent sind:
(i) Die von den Vektoren $(a, b)$ und $(c, d)$ erzeugten Untermoduln sind direkte Summanden und die Summe ergibt [mm] $\IZ^2$;
[/mm]
(ii) Die Matrix [mm] $\pmat{ a & c \\ b & d }$ [/mm] ist invertierbar;
(iii) Es gilt $a d - b c = [mm] \pm [/mm] 1$.
Nun, und zu festen $a, b$ gibt es genau solche $d, c$, wenn $ggT(a, b) = 1$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Pawelos |
HI
ja aber das klapt nicht a(3,11)+b(-11,3) = (1,0) ist nicht lösbar über [mm] \IZ [/mm] ! Oder muss ich da was anderes machen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mi 07.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> ja aber das klapt nicht a(3,11)+b(-11,3) = (1,0) ist nicht
> lösbar über [mm]\IZ[/mm] ! Oder muss ich da was anderes machen???
Felix meinte seine a und b als Lösungen von [m] 3 a + 11 b = 1[/m], also musst du jeweils [m]\alpha (3,11) + \beta (-b, a) = (1, 0) [/m] bzw. [m] \alpha' (3,11) + \beta' (-b, a) = (0, 1) [/m] lösen. Und das kann man super leicht "mit Raten" machen ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Pawelos |
Ach so, ja hab jetzt verstanden was gemeint war.
Danke
hab auch eine Richtung gezeigt:
" aus ggT(m,n) =1 folgt (m,n) erzeugt direkten Summanden "
dann mach ich mich mal an die andere Richtung!!
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