Direkter Beweis < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Do 26.10.2006 | | Autor: | feku |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Formel direkt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{n}{n+1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir ist es bereits gelungen, diese Formel durch vollständige Induktion zu beweisen. Nun soll man sie aber auch noch direkt beweisen. Mir fehlt hierzu jedoch völlig der Ansatz. Wie kann man eine solche Summenformel direkt beweisen? Als Hinweis ist noch gegeben, dass man mit Stammbrüchen arbeiten soll, aber was ist ein Stammbruch und wie kann man ihn hier anwenden?
|
|
| |
|
Hallo feku,
> Beweisen Sie die folgende Formel direkt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{n}{n+1}[/mm]
Du könntest ja mal schauen, wie Gottfried diese Aufgabe gelöst hat. 
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
Hiho,
eigentlich schaffst du den direkten Beweis mit 2 Schritten:
1.) Partialbruchzerlegung
2.) Indexverschiebung
3.) Fertig
Vllt. kommst ja nun alleine drauf, wenn nicht, nochmal nachfragen.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Do 26.10.2006 | | Autor: | feku |
| Aufgabe | Beschreiben sie das Verhalten der Summe und ordnen Sie ihr einen Wert zu.
[mm] \bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+... [/mm] |
Vielen Dank für Euere Hinweise, habe den Beweis hinbekommen. Nun gibt es obige weitere Teilaufgabe.
Bin mir hier bei der Antwort nicht ganz sicher. Ich würde sagen, dass die Summe für n gegen unendlich gegen 1 strebt, sich langsam an 1 annähert. Ist diese Teilaufgabe mit dieser Aussage gelöst?
|
|
|
| |
|
Naja, du musst schon noch zeigen, wieso die sich an 1 annähert.
> [mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...[/mm]
Wenn du dir die Summe nun mal anguckst, fällt dir bestimmt auf, daß sie genau die Form
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm]
Hast du eine Idee, wie du dann zeigen kannst, daß das gegen 1 geht?
Wenn ja, zeigs mal, wenn nicht, nochmal nachfragen 
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Do 26.10.2006 | | Autor: | feku |
Also oben war ja angegeben, dass die Summe der Formel [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] entspricht. Hier kann man ja sofort erkennen, dass wenn n gegen unendlich geht, der Bruch 1 wird. Aber wie man das anhand der Summenformel zeigt, da hab ich leider keine Idee.
|
|
|
| |
|
Die Idee dahinter ist, die Summe als Grenzwert für eine endliche Summe zu betrachten:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k(k+1)} = \limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)})=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+1} = 1 [/mm]
So würde es sauber aufgeschrieben aussehen.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Do 26.10.2006 | | Autor: | feku |
Genau das hatte ich auch gemeint, nur nicht so sauber aufgeschrieben! Nochmals vielen Dank für die Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Do 26.10.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Doofer Antwortbutton -.-
|
|
|
|
