Direkte Summe & kart. Produkt < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Seien V und W Vektorräume.
Zeigen Sie: V [mm] \times [/mm] W = [mm] (V\times\{0\})\oplus (\{0\} \times [/mm] W) |
Meine Idee ist, dies mit Basen zu beweisen.
Sei [mm] B_v={v_1, ..., v_n} [/mm] eine Basis für V
[mm] B_w={w_1, ..., w_n} [/mm] eine Basis für W.
Dann ist
[mm] B'_v=\{(v_1,0), ..., (v_n,0)\} [/mm] eine Basis für [mm] V\times\{0\} [/mm] und [mm] B'_w=\{(0,w_1,), ..., (0,w_n)\} [/mm] eine Basis für [mm] \{0\} \times [/mm] W.
Also ist B'_v [mm] \cup [/mm] B'_w eine Basis für [mm] (V\times\{0\})\oplus (\{0\} \times [/mm] W)= X
Also hat X und [mm] V\timesW [/mm] die selbe Dimension.
Würde dies so aussreichen?
Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen der Direkten Summe von Vektorräumen und dem kartesischen Produkt? In meinem Lehrbuch steht, dass dies genau das selbe ist. Aber hier verwendet der Prof ja beide Notationen in gleichen Ausdruck.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 So 20.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien V und W Vektorräume.
> Zeigen Sie: V [mm]\times[/mm] W = [mm](V\times\{0\})\oplus (\{0\} \times[/mm]
> W)
>
> Meine Idee ist, dies mit Basen zu beweisen.
>
> Sei [mm]B_v={v_1, ..., v_n}[/mm] eine Basis für V
> [mm]B_w={w_1, ..., w_n}[/mm] eine Basis für W.
Wer sagt, dass V und W endliche Dimension haben ?
>
> Dann ist
> [mm]B'_v=\{(v_1,0), ..., (v_n,0)\}[/mm] eine Basis für [mm]V\times\{0\}[/mm]
> und [mm]B'_w=\{(0,w_1,), ..., (0,w_n)\}[/mm] eine Basis für [mm]\{0\} \times[/mm]
> W.
> Also ist B'_v [mm]\cup[/mm] B'_w eine Basis für
> [mm](V\times\{0\})\oplus (\{0\} \times[/mm] W)= X
> Also hat X und [mm]V\timesW[/mm] die selbe Dimension.
>
> Würde dies so aussreichen?
>
> Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen der Direkten
> Summe von Vektorräumen und dem kartesischen Produkt? In
> meinem Lehrbuch steht, dass dies genau das selbe ist. Aber
> hier verwendet der Prof ja beide Notationen in gleichen
> Ausdruck.
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Direkte_Summe
Zu Deiner Aufgabe: betrachte die Abb.:
f(v,w):=((v,0),(0,w))
FRED
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 So 20.03.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo FRED,
Vielen Dank für deine Antwort.
Dass die Räume endlichdimensional sind, sagt niemand explizit. Allerdings haben wir bis jetzt ausschließlich solche Räume behandelt. Und selbt wenn es unendlichdimensionale Räume sind, für diese gäbe es ja auch Basen.
Ich werde deinen Tipp aber nun weiterverfolgen.
Vilietha
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