Direkte Summe der Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Mo 28.04.2008 | | Autor: | ToniKa |
| Aufgabe | Sei der Vektorraum V die direkte Summe der Unterräumen U und W. D.h V=U[mm]\oplus[/mm] W.
Angenommen, [mm] \{u_1,..,u_n\} [/mm] sei eine Basis für U und [mm] \{w_1,..,w_m\} [/mm] sei eine Basis für W. Zeigen Sie, dass [mm] \{u_1,..,u_n,w_1,..,w_m\} [/mm] eine Basis für V ist. |
Hallo zusammen!
Ich habe ein folgendes Problem. Ich weiss nicht, ob ich den [mm] Dimension-satz(dimU\oplus [/mm] W=dimU+dimW) für die Lösung meiner Aufgabe brauche. Oder reicht der folgende Satz für den Beweis aus: Sei V direkte Summe von U und W, also [mm] V=U\oplus [/mm] W,dann sei V=U+W und die Basis [mm] \{u_1,..,u_n,w_1,..,w_m\} [/mm] erzeugt diesen Vektorraum. D.h. sie ist linear unabhängig: [mm] a_1u_1+...+a_nu_n+b_1w_1+...+b_mw_m=0. [/mm] Ich weiss nicht, ob die lineare Unabhängigkeit überhaupt etwas mit dem Beweis zu tun hat?
Ich wäre dankbar für jede Korrektur und Hilfe
Viele Grüsse
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dein zweiter Satz ist genau das, was du zu beweisen hast. Es ist also recht unwahrscheinlich, dass du ihn benutzen sollst.
Der Dimensionssatz bringt dich nicht wirklich weiter.
V=U [mm] \oplus [/mm] W [mm] =\{(u,w)| u \in U, w \in W\} [/mm] = U [mm] \times [/mm] W
Das ist die Definition, die auch völlig zum Beweis ausreicht.
Benutze bitte die Vorschau-Funktion unter dem Textfeld, um fehlerhafte Eingaben zu erkennen. Die Klammern [mm] \{ \} [/mm] haben spezielle Funktionen. Wenn du sie einfach nur schreiben möchtest, dann muss ein Backslash [mm] \backslash [/mm] direkt davor.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Mo 28.04.2008 | | Autor: | ToniKa |
danke für die ausführliche korrektur )
ich habe jetzt den dimensionssatz rausgeholt und stattdessen, den beweis, den du gesagt hast zugefügt und den rest nochmal korrigiert.
lieben gruß
danke nochmal
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