Diophantische Gleichungen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Fr 04.01.2013 | | Autor: | sarah89 |
| Aufgabe | 1) Es seien a,b ∈ Z und n ∈ N mit ggT (a,b)=1 und n > ab. Beweisen Sie, dass die diophantische Gleichung ax+by=n eine Lösung (x,y) mit x,y ∈ N besitzt.
2)Bestimmen sie a,b ∈ Z und n ∈ N mit ggT (a,b) = 1 und n ≤ ab, so dass die diophantische Gleichung ax+by=n eine Lösung (x,y) mit x,y ∈ N besitzt. |
Hallo zusammen,
ich stehe mal wieder vor 2 "Problemen" bei denen ich dringendst eure Hilfe benötige.
1) Mich irritiert die Bedingung: n>ab.
Mein Ansatz:
"=>" ggT (a,b)=1 => ∃ x,y ∈ N mit n=ax+by
n∣a => a= n * L (L∈ N)
n∣b => b= n * ß (ß∈N)
n ∈ Ta und Tb
n= ax + by
"<=" ∃ x,y ∈ N mit n=ax+by => ggT (a,b) = 1
t= ggT
t∣a =>a= t * L (L∈ N)
t∣b => b= t * ß (ß∈N)
n > ax + by
=> (t*L)x+ (t*ß) y
n > t (Lx+ßy)
da t= ggT und n>ab ist ggT (a,b)= 1
2)Hier bin ich leider vollkommen ratlos!
Ich habe diese Frage bereits in einem anderen Forum gestellt.
Ich bin euch für jede Hilfe sehr dankbar =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Fr 04.01.2013 | | Autor: | hippias |
So leid es mir tut: Das hat alles nichts mit der Aufgabenstellung zu tun. Da Du keine Genau-dann-wenn Aussage beweisen sollst, benoetigst Du auch keinen Nachweis der Hinlaenglichkeit und Notwendigkeit einer Aussage.
Also: Du sollst zeigen, dass es unter den Voraussetzungen
1. $ggT(a,b)= 1$ und
2. $n>ab$
natuerliche Zahlen [mm] $x,y\in \IN$ [/mm] gibt, sodass $ax+by= n$ gilt.
Nun sage mir: Was weisst Du ueber ueber die Loesbarkeit einer diophantischen Gleichung $ax+by= c$, wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind?
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