Dimensionssatz < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich habe eine kurze Frage zum Beweis des Dimensionssatzes.
Gezeigt werden soll:
$dim(Kern(f)) + dim(Im(f)) = dim(V)$
Also zuerst soll eine Basis [mm] v_1,...,v_n [/mm] von $Kern(f)$ gewählt werden, da $Kern(f)$ ein Untervektorraum von V ist.
Diese kann dann zu einer Basis [mm] v_1,...,v_n,v_{n+1},...,v_k [/mm] von V ergänzt werden.
Und nun steht hier folgendes:
[mm] Bild(f)=\summe_{i=1}^{n}\lambda_if(v_i)+\summe_{i=n+1}^{k}\lambda_if(v_i)
[/mm]
Diese Formel verstehe ich nicht.
Wieso ist das Bild von f eine Linearkombination der Bilder der Basisvektoren?
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Mi 24.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich habe eine kurze Frage zum Beweis des Dimensionssatzes.
>
> Gezeigt werden soll:
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> [mm]dim(Kern(f)) + dim(Im(f)) = dim(V)[/mm]
>
> Also zuerst soll eine Basis [mm]v_1,...,v_n[/mm] von [mm]Kern(f)[/mm]
> gewählt werden, da [mm]Kern(f)[/mm] ein Untervektorraum von V ist.
>
> Diese kann dann zu einer Basis [mm]v_1,...,v_n,v_{n+1},...,v_k[/mm]
> von V ergänzt werden.
>
> Und nun steht hier folgendes:
>
> [mm]Bild(f)=\summe_{i=1}^{n}\lambda_if(v_i)+\summe_{i=n+1}^{k}\lambda_if(v_i)[/mm]
>
> Diese Formel verstehe ich nicht.
Ich auch nicht. Das macht aber nichts, denn diese "Formel" ist dummes Zeug. links steht eine Vektorraum, rechts ein Vektor .....
Wahrscheinlich ist folgendes geneint:
Ist w [mm] \in [/mm] Im(f), so gibt es ein v [mm] \in [/mm] V mit w=f(v).
Da [mm]v_1,...,v_n,v_{n+1},...,v_k[/mm] eine Basis von V ist gibt es Skalare [mm] \lambda_i:
[/mm]
[mm] $v=\summe_{i=1}^{n}\lambda_iv_i+\summe_{i=n+1}^{k}\lambda_iv_i$
[/mm]
Dann ist
$w = [mm] f(v)=\summe_{i=1}^{n}\lambda_if(v_i)+\summe_{i=n+1}^{k}\lambda_if(v_i)$
[/mm]
FRED
>
> Wieso ist das Bild von f eine Linearkombination der Bilder
> der Basisvektoren?
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred!
> Wahrscheinlich ist folgendes geneint:
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> Ist w [mm]\in[/mm] Im(f), so gibt es ein v [mm]\in[/mm] V mit w=f(v).
>
> Da [mm]v_1,...,v_n,v_{n+1},...,v_k[/mm] eine Basis von V ist gibt
> es Skalare [mm]\lambda_i:[/mm]
>
> [mm]v=\summe_{i=1}^{n}\lambda_iv_i+\summe_{i=n+1}^{k}\lambda_iv_i[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]w = f(v)=\summe_{i=1}^{n}\lambda_if(v_i)+\summe_{i=n+1}^{k}\lambda_if(v_i)[/mm]
Ah, ok.
Da hast du dann die Linearität von f ausgenutzt, oder?
Und diese Formel gilt nun für alle Elemente f(v), also für den ganzen Bildbereich Im(f) von f?
Heißt das, dass alle Elemente aus Im(f) als eine Linearkombination der Vektoren [mm] f(v_{n+1}),...,f(v_n) [/mm] dargestellt werden können?
Dass also die lineare Hülle von [mm] f(v_{n+1}),...,f(v_n) [/mm] gleich Im(f) ist, dass also [mm] f(v_{n+1}),...,f(v_n) [/mm] ein Erzeugendensystem von Im(f) ist?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mi 24.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
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> > Wahrscheinlich ist folgendes geneint:
> >
> > Ist w [mm]\in[/mm] Im(f), so gibt es ein v [mm]\in[/mm] V mit w=f(v).
> >
> > Da [mm]v_1,...,v_n,v_{n+1},...,v_k[/mm] eine Basis von V ist gibt
> > es Skalare [mm]\lambda_i:[/mm]
> >
> >
> [mm]v=\summe_{i=1}^{n}\lambda_iv_i+\summe_{i=n+1}^{k}\lambda_iv_i[/mm]
> >
> > Dann ist
> >
> > [mm]w = f(v)=\summe_{i=1}^{n}\lambda_if(v_i)+\summe_{i=n+1}^{k}\lambda_if(v_i)[/mm]
>
> Ah, ok.
>
> Da hast du dann die Linearität von f ausgenutzt, oder?
Ja
>
> Und diese Formel gilt nun für alle Elemente f(v), also
> für den ganzen Bildbereich Im(f) von f?
>
> Heißt das, dass alle Elemente aus Im(f) als eine
> Linearkombination der Vektoren [mm]f(v_{n+1}),...,f(v_n)[/mm]
> dargestellt werden können?
>
> Dass also die lineare Hülle von [mm]f(v_{n+1}),...,f(v_n)[/mm]
> gleich Im(f) ist, dass also [mm]f(v_{n+1}),...,f(v_n)[/mm] ein
> Erzeugendensystem von Im(f) ist?
Siehe hier: https://matheraum.de/read?i=667219
FRED
>
> LG Nadine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Alles klar, danke!
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Hallo,
Sei V ein Vektorraum und $ T:V [mm] \to [/mm] V $ sei dim(ker(T))=r mit Basis [mm] u_{1},...,u_{r} [/mm] .
Diese Basis kann zu einer Basis von V erweitert werden, also:
[mm] u_{1},...,u_{r},v_{1},...,v_{s}
[/mm]
Also dimV=r+s
Jetzt müssen wir zeigen, dass s=dim(Im(T))
[mm] Im(T)=Sp(T(u_1),...,T(u_r),T(v_{1}),...,T(v_s))
[/mm]
Da $ [mm] T(u_i)=0 \forall [/mm] i $ haben wir [mm] Sp(T(v_{1}),...,T(v_{s}))
[/mm]
Dies soll seine Basis von Im(T) sein. Dafür ist zu zeigen, dass die [mm] T(v_{r+1},...,v_{s}) [/mm] linear unabhängig sind.
[mm] \lambda_{1}*T(v_{1})+...+\lambda_{s}*T(v_s)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow T(\lambda_{1}*v_1+...+\lambda_{s}*v_{s})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}*v_1+...+\lambda_{s}*v_{s}\in [/mm] Ker(T) .
Da nun [mm] u_1,...,u_r [/mm] eine Basis von Ker(T) ist, so gilt
[mm] \lambda_{1}*v_1+...+\lambda_{s}*v_{s}=\mu_1*u_1+...+\mu_r*u_r [/mm] für manche [mm] u_i
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lambda_{1}*v_1+...+\lambda_{s}*v_{s}-\mu_1*u_1-...-\mu_r*u_r=0
[/mm]
[mm] v_1,...,v_s,u_1,...,u_r [/mm] ist aber eine Basis von V daher sind alle [mm] u_i [/mm] und [mm] v_i [/mm] linear unabhängig, also
sind auch [mm] T(v_1),...,T(v_s) [/mm] linea unabhängig, sind also eine Basis vom Im(T) und dim(V)=r+s wobei s=dim(Im(T)).
q.e.d
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Danke für den Beweis 
> Sei V ein Vektorraum und [mm]T:V \to V[/mm] sei dim(ker(T))=r mit
> Basis [mm]u_{1},...,u_{r}[/mm] .
Gilt der Beweis auch für lineare Abbildungen [mm]T:V \to W[/mm] mit $V [mm] \not= [/mm] W$?
> [mm]Im(T)=Sp(T(u_1),...,T(u_r),T(v_{1}),...,T(v_s))[/mm]
> Da [mm]T(u_i)=0 \forall i[/mm] haben wir [mm]Sp(T(v_{1},...v_{s})[/mm]
Was ist Sp?
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mi 24.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Danke für den Beweis
>
>
>
> > Sei V ein Vektorraum und [mm]T:V \to V[/mm] sei dim(ker(T))=r mit
> > Basis [mm]u_{1},...,u_{r}[/mm] .
>
> Gilt der Beweis auch für lineare Abbildungen [mm]T:V \to W[/mm] mit
> [mm]V \not= W[/mm]?
Gehe den Beweis doch mal durch und schau nach ob (und gegebenenfalls was) Du modifizieren mußt
>
>
>
> > [mm]Im(T)=Sp(T(u_1),...,T(u_r),T(v_{1}),...,T(v_s))[/mm]
> > Da [mm]T(u_i)=0 \forall i[/mm] haben wir [mm]Sp(T(v_{1},...v_{s})[/mm]
>
> Was ist Sp?
"span" oder "lineare Hülle"
FRED
>
>
>
> LG Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Gehe den Beweis doch mal durch und schau nach ob (und
> gegebenenfalls was) Du modifizieren mußt
Hmm, also ich würde sagen, ich kann es genau so übernehmen.
Man geht zwar auf Im(T) ein, was ein Teil des Zielvektorraums ist, aber ich glaube, es ist für den Beweis ziemlich egal, ob der Zielvektorraum nun auch wieder V oder eben W ist, weil man arbeitet dadrin ja nicht mit konkreten Elementen.
Also ich würde sagen, ich muss nix modifizieren.
Stimmt das?
LG Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Super!
Vielen Dank für eure Hilfe!
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