Dimensionssatz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Sa 04.12.2004 | | Autor: | bauta |
So Analysis hab ich lamgsam ganz gut drauf aber bei Lineare Algebra komm ich immer wieder einfach net weiter, deswegen hab ich mal wieder bei eine Aufgabe überhaupt keine Ahnung was ich da tun muss. Erst mal die Aufgabenstellung:
Seien A,B,C endlich-dimensionale Unterräume eines K-Vektorraums E.
Jetzt sollen wir folgenden Ungleichungen Beweisen:
(1) dim(A+B+C) [mm] \le [/mm] dim A + dim B + dim C
(2) dim(A+B+C) [mm] \le [/mm] dim A + dim B + dim C - 2 dim(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) (Verschärfung der Ersten)
Außerdem sollen wir ein hinreichendes und notwendiges Kriterium dafür angeben, dass die Unlgeichung (1) ein Gleichung wird.
Ich denke das ein hinreichendes Kriterium wie sein wird das sich A,B,C überhuapt nicht miteinander schneiden, weiß aber net ob das stimmt, den Dimensionsatz für 2 dieser Mengen haben wir zwar schon kurz in der Vorlesung gehabt, allerdings auch noch nicht ganz verstanden. Es wäre echt cool wenn mir irgendwer eine Anstoß oder ein Lösung zu meinem Problem geben könnt.
Ich habe diese Frage in keine anderen Forum auf anderen Seiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Palin |
Ich hab hier den Beweis für zwei Unterräume die Erweiterung auf 3 überlasse ich mal dir.
Es sein U und V zwei endliche-dimensionale Unterräume eines Vektorraums X.Dann gilt
Dim U + Dim V = Dim(U [mm] \cap [/mm] V) + Dim(U+V)
Beweis: Es sei [mm] $B_{d}=\{ \beta_{1},.. \beta_{r} \}$eine [/mm] Basis von U [mm] \cap [/mm] V.
Nun kan [mm] B_{d} [/mm] einerseits zu einer Basis [mm] B_{1}={ \beta_{1},..., \beta_{r}, a_{1}...,a_{s}} [/mm] von U, andererseits auch zu einer [mm] B_{2}={ \beta_{1},..., \beta_{r}, b_{1}...,b_{t}} [/mm] von V erweitert werden.
Zunächst soll jetzt gezeigtwerden, das [mm] $B=\{ \beta_{1},..., \beta_{r},a_{1}...,a_{s}, b_{1}...,b_{t}\}$ [/mm] eine Basis des Summenraumes U+V ist.
Jeder Vektor r [mm] \in [/mm] U+V kann in der Form r = u + v mit u [mm] \in [/mm] U und v [mm] \in [/mm] V dargestellt werden.
Da sich u als Linearkombination von [mm] B_{1} [/mm] und v als Lin.komb. von [mm] B_{2}
[/mm]
darstellen läßt, ist r eine Linearkombination von B. Es gilt [B] = U+V.
Zum Nachweis der linearen Unabhänigkeit von B werden
[mm] x_{1} \beta_{1}+ x_{r} \beta_{r}+y_{1} a_{1}+ y_{s} a_{s} +z_{1} b_{1}+ z_{t} b_{t} [/mm] = 0,
also
[mm] x_{1} \beta_{1}+ x_{r} \beta_{r}+y_{1} a_{1}+ y_{s} a_{s} =-z_{1} b_{1}- z_{t} b_{t}
[/mm]
vorausgesetzt.
Da in der letzten Gleichung die linke Seite ein Vektor aus U, die rechte Seite aber ein Vektor aus V ist, müssen beide Seiten einen Vektor aus U [mm] \cap [/mm] V sein, der sich somit als Linearkombination von [mm] \beta_{1},.. \beta_{r} [/mm] darstellen lassen muß. Wegen derlinearen Unabhänigkeitvon _{1} und [mm] B_{2} [/mm] ergibt sich hierraus unmittelbar [mm] x_{1}=..=x-{r}=y_{1} [/mm] =... [mm] y_{s} =z_{1} =...=z_{t} [/mm] =0
Es folgt jetzt
Dim U + Dim V = (r+s)+(r+t)=r+(r+s+t)=Dim(U [mm] \cap [/mm] V) + Dim (U+V).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 05.12.2004 | | Autor: | bauta |
Und gibts auch ne möglichkeit diesen beweis direkt auf 3 Unterräume anzuwenden und wenn ja wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Di 07.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo bauta!
> Und gibts auch ne möglichkeit diesen beweis direkt auf 3
> Unterräume anzuwenden und wenn ja wie?
Ja, es gilt:
[mm] $\dim(A+B+C) [/mm] = [mm] \dim(A) [/mm] + [mm] \dim(B) [/mm] + [mm] \dim(C) [/mm] - [mm] \dim(A\cap [/mm] B) - [mm] \dim(A \cap [/mm] C) - [mm] \dim(B \cap [/mm] C) + [mm] \dim(A \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C)$.
Eien Lösung zu deiner Aufgabe findest du übrigens hier.
Viele Grüße
Julius
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