Dimensionsformelaufgabe < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Do 02.02.2012 | | Autor: | nobodon |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und V ein endl dim. Vektorraum. Sei
f: V -->V eine lineare Abbildung.
Zeige: Falls [mm] $f^2 [/mm] = [mm] 0\in$End(V) [/mm] so gilt $dimker(f) [mm] \geq [/mm] 0.5*dim(V)$ |
Hey Leute,
ich hab paar kurze Fragen, die mir folgende Aufgabe helfen zu lösen:
1.Frage, die dimension vom aufgespannten Raum vom Nullvektor ist Null?
2.Frage wie kann [mm] $f^2 [/mm] = [mm] 0\in\$End(V) [/mm] das sein? Ich meine $ End(V)$ (Endomorphismus) sind alle lineare Abb von V nach V wie kann $ [mm] 0\in$End(V)sein, [/mm] 0 ist keine Abbildung, sondenr eine Zahl aus dem Körper.
Hab versucht, das mit der binomischen Fornmel zu lösen kriegst aber nicht gebacken xD
mfg
|
|
| |
|
moin nobodon,
Ja, die Dimension des Nullraums ist Null.
Zur Abbildung:
Mit $0 [mm] \in$ [/mm] End(V) ist die Nullabbildung gemeint, also $g: V [mm] \to [/mm] V, x [mm] \mapsto [/mm] 0$.
Dass heißt also du sollst zeigen: Wenn [mm] $f^2$ [/mm] alles auf 0 schickt, so muss $f$ (anschaulich) schon mindestens die Hälfte auf Null schicken.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 02.02.2012 | | Autor: | nobodon |
und wie löse ich jetzt das ganze?
dimkern(f) + dimIm(f) = dimV
und nun?
wie komme ich auf die abschätzung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 Fr 03.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
üerlege mal was [mm] f^2 [/mm] =0 bedeutet? was ist das bild von [mm] f^2, [/mm] was der Kern. Du wendest 2 mal hintereinander f an, dann bleibt 0.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Fr 03.02.2012 | | Autor: | nobodon |
heißt wohl, dass
[mm] dimIm(f^2) [/mm] = 0 und [mm] dimker(f^2) [/mm] = n, mit n = dimV?
also
[mm] dimker(f^2) [/mm] = dimV = dimkerf + dimImf, über dimImf kann ich immer noch keine aussage machen.
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Fr 03.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> heißt wohl, dass
> [mm]dimIm(f^2)[/mm] = 0 und [mm]dimker(f^2)[/mm] = n, mit n = dimV?
> also
> [mm]dimker(f^2)[/mm] = dimV = dimkerf + dimImf, über dimImf kann
> ich immer noch keine aussage machen.
Ja, da hast Du recht.
Das entscheidende Argument wurde bis jetzt noch nicht genannt:
aus [mm] f^2=0 [/mm] folgt: Im(f) [mm] \subseteq [/mm] ker(f). somit ist dim im(f) [mm] \le [/mm] dim ker(f).
Jetzt bemühe die Dimensionsformel
dim V= dim ker(f) + dim Im(f).
FRED
>
> mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 03.02.2012 | | Autor: | nobodon |
>
>
> Ja, da hast Du recht.
>
> Das entscheidende Argument wurde bis jetzt noch nicht
> genannt:
>
> aus [mm]f^2=0[/mm] folgt: Im(f) [mm]\subseteq[/mm] ker(f). somit ist dim
> im(f) [mm]\le[/mm] dim ker(f).
>
> Jetzt bemühe die Dimensionsformel
>
> dim V= dim ker(f) + dim Im(f).
>
> FRED
Na gut, wenn Im(f) gleich Kern ist, dann gilt also bei Gleichheit:
dimkerf = dimImf
daraus folgt
dimV - dimImf = dimkerf
1/2 dimV = dimkerf
falls Imf echte Teilmenge so folgt die Behauptung, also das was zu zeigen war.
Ich verstehe aber nicht aus [mm] f^2=0, [/mm] folgt Im(f) ist Teilmenge vom Kern(f), warum ist das so?=
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Fr 03.02.2012 | | Autor: | Stoecki |
wenn du [mm] f^2(x) [/mm] betrachtest, dann wird zuerst x mit f auf einen wert f(x) geschickt. also hast du Im(f) = {f(x) | x [mm] \in [/mm] V}
anschließend wird diese menge, wenn du f erneut darauf anwendest auf 0 geschickt. also gilt Im(f) [mm] \subseteq [/mm] Ker(f)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Fr 03.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> >
> >
> > Ja, da hast Du recht.
> >
> > Das entscheidende Argument wurde bis jetzt noch nicht
> > genannt:
> >
> > aus [mm]f^2=0[/mm] folgt: Im(f) [mm]\subseteq[/mm] ker(f). somit ist dim
> > im(f) [mm]\le[/mm] dim ker(f).
> >
> > Jetzt bemühe die Dimensionsformel
> >
> > dim V= dim ker(f) + dim Im(f).
> >
> > FRED
>
> Na gut, wenn Im(f) gleich Kern ist, dann gilt also bei
> Gleichheit:
>
> dimkerf = dimImf
> daraus folgt
> dimV - dimImf = dimkerf
> 1/2 dimV = dimkerf
>
> falls Imf echte Teilmenge so folgt die Behauptung, also das
> was zu zeigen war.
>
> Ich verstehe aber nicht aus [mm]f^2=0,[/mm] folgt Im(f) ist
> Teilmenge vom Kern(f), warum ist das so?=
Ist y [mm] \in [/mm] Im(f), so ex. ein x [mm] \in [/mm] V mit y=f(x). Dann ist
[mm] f(y)=f(f(x))=f^2(x)=0,
[/mm]
also y [mm] \in [/mm] kern(f).
FRED
>
>
> mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Do 02.02.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
mit 0 ist hier, - wie leicht aus dem zusammenhang zu entnehmen, [mm] 0\in [/mm] V gemeint, also nicht die Zahl 0.
dim{0}=0
Gruss leduart
|
|
|
|
