www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Dimensionsformel, affin
Dimensionsformel, affin < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Dimensionsformel, affin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Do 01.11.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Seien [mm] A_1 [/mm] , [mm] A_2 [/mm] affine Teilräume und [mm] A_1 \cap A_2 \not=0 [/mm]
=> [mm] dim(A_1) [/mm] + [mm] dim(A_2) [/mm] = [mm] dim(A_1 \cap A_2 [/mm] ) + dim [mm] (()_{aff}) [/mm]

[mm] dm(A_1 [/mm] ) = [mm] dim(V_{A_1}) [/mm]
[mm] dm(A_2 [/mm] ) = [mm] dim(V_{A_2}) [/mm]
nun man sieht  [mm] V_{A_1 \cap A_2} [/mm] = [mm] V_{A_1} \cap V_{A_2} [/mm]
Aber wie zeige ich [mm] V_{_{aff}} [/mm] = [mm] V_{A_1} [/mm] + [mm] V_{A_2} [/mm] ??

wobei mit dem [mm] V_A [/mm] := [mm] \{ a_2 - a_1 | a_1 , a_2 \in A \} [/mm] der lineare Teilraum geimeint ist

Liebe Grüße

        
Bezug
Dimensionsformel, affin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:41 Fr 02.11.2012
Autor: tobit09

Hallo mal wieder,


> Aber wie zeige ich [mm]V_{_{aff}}[/mm] = [mm]V_{A_1}[/mm] + [mm]V_{A_2}[/mm] ??

Da [mm] $A_1\cap A_2\not=\emptyset$ [/mm] existiert ein [mm] $a\in A_1\cap A_2$. [/mm]

Es gilt:

      [mm] $V_{_{aff}}=_{aff}-a$ [/mm]
      [mm] $V_{A_1}+V_{A_2}=(A_1-a)+(A_2-a)$. [/mm]

Zu zeigen ist also

     [mm] $_{aff}-a=(A_1-a)+(A_2-a)$ [/mm]

bzw.

     [mm] $_{aff}=A_1+A_2-a$. [/mm]

Hilft das schon weiter?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Dimensionsformel, affin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 So 18.11.2012
Autor: sissile

Hallo
Ich verstehe nicht woher rührt:

>  $ [mm] V_{_{aff}}=_{aff}-a [/mm] $

Liebe Grüße,
;)

Bezug
                        
Bezug
Dimensionsformel, affin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 So 18.11.2012
Autor: tobit09


>  Ich verstehe nicht woher rührt:
>  >  [mm]V_{_{aff}}=_{aff}-a[/mm]

Für jeden affinen Unterraum $A$ und jedes [mm] $a\in [/mm] A$ gilt [mm] $A=V_A+a$, [/mm] also [mm] $V_A=A-a$. [/mm]

Wende letzteres auf [mm] $A:=\langle A_1\cup A_2\rangle_{\operatorname{aff}}$ [/mm] an (unter Beachtung von [mm] $a\in A_1\cap A_2\subseteq A_1\cup A_2\subseteq [/mm] A$).

Bezug
                                
Bezug
Dimensionsformel, affin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 So 18.11.2012
Autor: sissile

Ah, ich verstehe.
Also ist noch zuzeigen: < [mm] A_1 \cup A_2 [/mm] >_{aff} = [mm] A_1 [/mm] + [mm] A_2 [/mm]
Das gilt ja für lineare Teilräume/Erzeugnisse und jede lineare teilraum ist ein affner teilraum.
Aber ich denke gezeigt ist es dann noch nicht..

LG

Bezug
                                        
Bezug
Dimensionsformel, affin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 So 18.11.2012
Autor: tobit09


> Ah, ich verstehe.
>  Also ist noch zuzeigen: < [mm]A_1 \cup A_2[/mm] >_{aff} = [mm]A_1[/mm] +
> [mm]A_2[/mm]

Nein. Zu zeigen ist < [mm]A_1 \cup A_2[/mm] >$_{aff}$ = [mm]A_1[/mm] +  [mm]A_2[/mm]  [mm] \blue{-a}, [/mm] wie ich hier (klick) überlegt habe.

Bezug
                                                
Bezug
Dimensionsformel, affin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Mo 19.11.2012
Autor: sissile

Mein Versuch:
ZUZeigen: < $ [mm] A_1 \cup A_2 [/mm] $ >$ _{aff} $ = $ [mm] A_1 [/mm] $ +  $ [mm] A_2 [/mm] $  $ [mm] \blue{-a}, [/mm] $

[mm] == [/mm] a +< [mm] V_{A_1}\cup V_{A_2} [/mm] > [mm] =a+V_{A_1}+V_{A_2}=a+(A_1 -a)+(A_2 -a)=A_1+A_2-a. [/mm]
Und?
Liebe Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
Dimensionsformel, affin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:34 Di 20.11.2012
Autor: tobit09


>  ZUZeigen: < [mm]A_1 \cup A_2[/mm] >[mm] _{aff}[/mm] = [mm]A_1[/mm] +  [mm]A_2[/mm]  
> [mm]\blue{-a},[/mm]
>  
> [mm][/mm]

Lasse auf keinen Fall den Index [mm] $\operatorname{aff}$ [/mm] weg! Sonst ist der erzeugte affine Teilraum nicht vom erzeugten linearen Teilraum zu unterscheiden. Und im Allgemeinen stimmen beide nicht überein.

> [mm]==[/mm] a +< [mm]V_{A_1}\cup V_{A_2}>[/mm]

Begründung? Hier könntest du mit Beispiel 1.22 aus dem Skript arbeiten.

> [mm]=a+V_{A_1}+V_{A_2}=a+(A_1 -a)+(A_2 -a)=A_1+A_2-a.[/mm]

Die rechten Gleichheiten sind unproblematisch. Aber warum gilt [mm] $\langle V_{A_1}\cup V_{A_2}\rangle_{aff}=\underbrace{V_{A_1}+V_{A_2}}_{=\langle V_{A_1}\cup V_{A_2}\rangle}$? [/mm]

Der einfachste Beweis, der mir dazu einfällt, wäre beide Teilmengenbeziehungen zu prüfen.

[mm] $\langle M\rangle_{\operatorname{aff}}\subseteq \langle M\rangle$ [/mm] gilt für jede Teilmenge M eines Vektorraumes (warum?). [mm] $\langle M\rangle_{\operatorname{aff}}\supseteq \langle M\rangle$ [/mm] dagegen i.A. nicht. Letzteres gilt aber, falls [mm] $0\in [/mm] M$ gilt. Dazu zeige, dass [mm] $A:=\langle M\rangle_\operatorname{aff}$ [/mm] wegen [mm] $0\in [/mm] A$ schon ein linearer Teilraum ist. (Oder wisst ihr schon, dass affine Teilräume, die den Nullvektor enthalten, schon lineare Teilräume sind?) Somit ist A ein linearer Teilraum, der M umfasst und somit [mm] $A\supseteq\langle M\rangle$. [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]