Dimensionsberechnungen & mehr < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Mo 30.08.2004 | | Autor: | Fry |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo ! :)
Folgende Aufgaben:
1) Bestimmen Sie unter vollständiger Angabe des Lösungswegs:
n= dim [mm] [\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}]
[/mm]
m= dim [mm] [\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -\bruch{5}{4} \\ -1 \\ -\bruch{1}{4} \end{pmatrix}]
[/mm]
2) Das Gleichsetzen der rechten Seiten der Ebenengleichungen
[mm] E_1: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{5}{4} \\ 1 \\ \bruch{1}{4} \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] E_2: \vec [/mm] x = [mm] s*\begin{pmatrix} -5 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
führt zu einem LGS,dessen Matrix aus den (Spalten-)Vektoren von a) besteht. Wie würden [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] zueinander liegen,wenn
2.1) n=m=2
2.2) n=2 und n=3
2.3)n=m=3 wäre ?
Zu 1)
Ich habe herausgefunden,dass die ersten beiden Vektoren lin. unabhängig sind und sich die beiden anderen Vektoren durch die ersten beiden darstellen lassen. Reicht das, um zu zeigen,das dim U = 2 ?
Beim zweiten Untervektorraum erhalte ich wieder dim U = 2,da der 5.Vekor ein Vielfaches des 3.Vektors ist.
Zu2)
Hier verstehe ich irgendwie nur Bahnhof :=).
Sind das jetzt nur theoretische Überlegungen? Wenn die Dimension der beiden UVektorräumen anders wäre,d.h. wenn die Vektoren auch anders wären, wie würden dann die Ebenen zueinander liegen ? oder was ?
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben,ich blicke gerade nicht so ganz,wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Danke !
MfG
Fry
|
|
| |
|
Hallo Fry!
1) Deine Überlegungen sind richtig. Allgemein musst du den Rang der Matrix, die aus den Vektoren gebildet ist, bestimmen (zum Beispiel mit dem Gaußalgorithmus).
2) n und m sind fest, wie können sie andere Werte haben? Ich verstehe die Aufgabe auch nicht. Bist du sicher, dass du sie richtig abgeschrieben hast?
Schöne Grüße,
Ladis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 30.08.2004 | | Autor: | Fry |
Hi Ladies,
danke für deine Antwort.
Was meinst du denn genau mit dem Rang der Matrix bzw. wie bestimme ich den ?
Die Aufgabe habe ich übrigens korrekt abgeschrieben....da bin ich ja erleichtert,dass ich nicht der einzige bin,der die Aufgabe nicht versteht.
Gruß
Fry
|
|
|
| |
|
Hallo Fry!
Gegeben sei das LGS [mm]A\vec{x}=\vec{b}[/mm]. Dann nennt man die Höchstzahl r der auf der linken Seite erzeugbaren unterschiedlichen Einheitsvektoren den Rang der Matrix A.
Suche mal in Google nach "Gaußalgorithmus".
Schöne Grüße,
Ladislau
|
|
|
|
