Dimension von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien Untervektorräume des Vektorraums [mm] \IR^{4} [/mm] gegeben durch:
U := L ( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{7 \\ 2 \\ 0 \\ 2} \vektor{2 \\ -5 \\ 0 \\ -5} \vektor{2 \\ 2 \\ 0 \\ 2} [/mm] )
und
W := { v [mm] \in \IR^{4} [/mm] | [mm] v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}=0 [/mm] }
(a) Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von U, W und U [mm] \cap [/mm] W
(b) Bestimmen Sie eine Matrix A [mm] \in \IR^{3 \times 4} [/mm] mit U={x [mm] \in \IR^{4} [/mm] | Ax=0 } |
Guten Tag.
Meine Ansätze:
(a) Prüfen, welche Vektoren in U linear unabhängig sind:
bei U:
Zu zeigen:
a-2b+7c+2d+2e=0
2c-5d+2e=0
0=0
2c-5d+2e=0
Ich sehe hier keine andere Lösung als a=b=c=d=e=0
demnach sind alle Vektoren aus U lin. unabh. und stellen eine Basis dar. Die ist Dimension also =3, weil [mm] x_{3} [/mm] nicht freiwählbar sondern stets 0 ist?
scheint mir selbst nicht richtig^^
bei W:
es gibt hier wohl unendlich viele Basen, bspw. [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1} [/mm] o.ä. ?
Dimension = 4
(b) Die Matrix A= [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} } [/mm] soll mit dem Vektor x aus [mm] \IR^{4} [/mm] multipliziert 0 ergeben
sprich es ist zu zeigen:
[mm] a_{11} x_{1} [/mm] + [mm] a_{12} x_{2} [/mm] + [mm] a_{13} x_{3} [/mm] + [mm] a_{14} x_{4} [/mm] = 0
[mm] a_{21} x_{1} [/mm] + [mm] a_{22} x_{2} [/mm] + [mm] a_{23} x_{3} [/mm] + [mm] a_{24} x_{4} [/mm] = 0
[mm] a_{31} x_{1} [/mm] + [mm] a_{32} x_{2} [/mm] + [mm] a_{33} x_{3} [/mm] + [mm] a_{34} x_{4} [/mm] = 0
somit gäbe es die Nullmatrix als Lösung
Danke im Voraus.
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> Seien Untervektorräume des Vektorraums [mm]\IR^{4}[/mm] gegeben
> durch:
>
> U := L ( [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{7 \\ 2 \\ 0 \\ 2} \vektor{2 \\ -5 \\ 0 \\ -5} \vektor{2 \\ 2 \\ 0 \\ 2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> )
> und
> W := { v [mm]\in \IR^{4}[/mm] | [mm]v_%7B1%7D%2Bv_%7B2%7D%2Bv_%7B3%7D%2Bv_%7B4%7D%3D0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> (a) Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von
> U, W und U [mm]\cap[/mm] W
> (b) Bestimmen Sie eine Matrix A [mm]\in \IR^{3 \times 4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit
> U={x [mm]\in \IR^{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Ax=0 }
> Guten Tag.
>
> Meine Ansätze:
>
> (a) Prüfen, welche Vektoren in U linear unabhängig sind:
>
> bei U:
>
> Zu zeigen:
> a-2b+7c+2d+2e=0
> 2c-5d+2e=0
> 0=0
> 2c-5d+2e=0
>
> Ich sehe hier keine andere Lösung als a=b=c=d=e=0
Hallo,
es gibt eine andere Lösung.
Du hast hier 5 Vektoren eines 4-dimensionalen Vektorraumes. Sie können nicht linear unabhängig sein.
Und wenn man seine Augen einen winzigen Spalt öffnet, dann sieht man ja auch schön, daß einer der Vektoren ein Vielfaches eines anderen ist.
Zur Vorgehensweise:
nimm zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren, die linear unabhängig sind.
Ergänze durch einen weiteren.
Prüfe, ob die drei unabhängig sind.
Wenn ja: nächsten dazunehmen, wieder prüfen.
Wenn nein: Vektor wegwerfen, nächsten testen.
Immer so weiter, bis die Vektoren aufgebraucht sind bzw. Du eine linear unabhängige Menge aus 4max. 4 Vektoren hast.
Bequemere Vorgehensweise.
Vektoren als Spalten in eine Matrix stellen, transponieren, auf Zeilenstufenform bringen, transponieren.
In den Spalten steht eine Basis des aufgespannten Raumes.
Andere Möglichkeit:
Zweilen als Spalten in eine Matrix, in ZSF bringen.
Den Rest erkläre ich Dir ggf., wenn wir die ZSF vor Augen haben.
>
> demnach sind alle Vektoren aus U lin. unabh. und stellen
> eine Basis dar. Die ist Dimension also =3, weil [mm]x_{3}[/mm] nicht
> freiwählbar sondern stets 0 ist?
Oh, oh.
Nun schlag doch mal nach, wie Dimension definiert ist.
>
> scheint mir selbst nicht richtig^^
Stimmt.
>
> bei W:
>
> es gibt hier wohl unendlich viele Basen, bspw. [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> o.ä. ?
Das ist keine Basis.
>
> Dimension = 4
???
Wenn die Basis aus einem Vektor besteht, ist die Dimension nicht =4.
>
> (b) Die Matrix A= [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} }[/mm]
> soll mit dem Vektor x aus [mm]\IR^{4}[/mm] multipliziert 0 ergeben
>
> sprich es ist zu zeigen:
>
> [mm]a_{11} x_{1}[/mm] + [mm]a_{12} x_{2}[/mm] + [mm]a_{13} x_{3}[/mm] + [mm]a_{14} x_{4}[/mm] =
> 0
>
> [mm]a_{21} x_{1}[/mm] + [mm]a_{22} x_{2}[/mm] + [mm]a_{23} x_{3}[/mm] + [mm]a_{24} x_{4}[/mm] =
> 0
>
> [mm]a_{31} x_{1}[/mm] + [mm]a_{32} x_{2}[/mm] + [mm]a_{33} x_{3}[/mm] + [mm]a_{34} x_{4}[/mm] =
> 0
>
> somit gäbe es die Nullmatrix als Lösung
Aha.
Nur wäre dann der gesuchte Raum der [mm] \IR^^4 [/mm] und nicht der VR U.
Du solltest das nochmal überarbeiten.
LG Angela
>
>
> Danke im Voraus.
>
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> > Seien Untervektorräume des Vektorraums [mm]\IR^{4}[/mm] gegeben
> > durch:
> >
> > U := L ( [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{7 \\ 2 \\ 0 \\ 2} \vektor{2 \\ -5 \\ 0 \\ -5} \vektor{2 \\ 2 \\ 0 \\ 2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
>
> > )
> > und
> > W := { v [mm]\in \IR^{4}[/mm] |
> [mm]v_%7B1%7D%2Bv_%7B2%7D%2Bv_%7B3%7D%2Bv_%7B4%7D%3D0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> }
> >
> > (a) Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension
> von
> > U, W und U [mm]\cap[/mm] W
> > (b) Bestimmen Sie eine Matrix A [mm]\in \IR^{3 \times 4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> mit
> > U={x [mm]\in \IR^{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> | Ax=0 }
> > Guten Tag.
> >
> > Meine Ansätze:
> >
> > (a) Prüfen, welche Vektoren in U linear unabhängig
> sind:
> >
> > bei U:
> >
> > Zu zeigen:
> > a-2b+7c+2d+2e=0
> > 2c-5d+2e=0
> > 0=0
> > 2c-5d+2e=0
> >
> > Ich sehe hier keine andere Lösung als a=b=c=d=e=0
>
> Hallo,
>
> es gibt eine andere Lösung.
>
> Du hast hier 5 Vektoren eines 4-dimensionalen Vektorraumes.
> Sie können nicht linear unabhängig sein.
> Und wenn man seine Augen einen winzigen Spalt öffnet,
> dann sieht man ja auch schön, daß einer der Vektoren ein
> Vielfaches eines anderen ist.
stimmt, der zweite Vektor ist das -2 fache des ersten, somit sind diese beiden linear abhängig.
> Zur Vorgehensweise:
>
> nimm zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren, die linear
> unabhängig sind.
> Ergänze durch einen weiteren.
> Prüfe, ob die drei unabhängig sind.
> Wenn ja: nächsten dazunehmen, wieder prüfen.
> Wenn nein: Vektor wegwerfen, nächsten testen.
>
> Immer so weiter, bis die Vektoren aufgebraucht sind bzw. Du
> eine linear unabhängige Menge aus 4max. 4 Vektoren hast.
meinst du jetzt irgendwelche Vektoren? die Standardbasen sind ja Möglichkeiten für linear unabhängige Vektoren. sprich e=(1,0,0,0) usw.
was bringt mir das jetzt?
> Bequemere Vorgehensweise.
>
> Vektoren als Spalten in eine Matrix stellen, transponieren,
> auf Zeilenstufenform bringen, transponieren.
> In den Spalten steht eine Basis des aufgespannten Raumes.
wenn ich eine Matrix aufschreibe, habe ich Probleme das in zsf zu bringen:
1 -2 7 2 2
0 0 2 -5 2
0 0 0 0 0
0 0 2 -5 2
(tut mir leid die Matrix Darstellung will gerade nicht funktionieren)
> Andere Möglichkeit:
> Zweilen als Spalten in eine Matrix, in ZSF bringen.
> Den Rest erkläre ich Dir ggf., wenn wir die ZSF vor Augen
> haben.
selbes Problem, konnte zsf noch nie.
> >
> > demnach sind alle Vektoren aus U lin. unabh. und
> stellen
> > eine Basis dar. Die ist Dimension also =3, weil [mm]x_{3}[/mm]
> nicht
> > freiwählbar sondern stets 0 ist?
>
> Oh, oh.
> Nun schlag doch mal nach, wie Dimension definiert ist.
>
> >
> > scheint mir selbst nicht richtig^^
>
> Stimmt.
> >
> > bei W:
> >
> > es gibt hier wohl unendlich viele Basen, bspw. [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> > o.ä. ?
>
> Das ist keine Basis.
>
> >
> > Dimension = 4
>
>
> ???
>
> Wenn die Basis aus einem Vektor besteht, ist die Dimension
> nicht =4.
dann ist sie 1?
> >
> > (b) Die Matrix A= [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} }[/mm]
>
> > soll mit dem Vektor x aus [mm]\IR^{4}[/mm] multipliziert 0 ergeben
> >
> > sprich es ist zu zeigen:
> >
> > [mm]a_{11} x_{1}[/mm] + [mm]a_{12} x_{2}[/mm] + [mm]a_{13} x_{3}[/mm] + [mm]a_{14} x_{4}[/mm]
> =
> > 0
> >
> > [mm]a_{21} x_{1}[/mm] + [mm]a_{22} x_{2}[/mm] + [mm]a_{23} x_{3}[/mm] + [mm]a_{24} x_{4}[/mm]
> =
> > 0
> >
> > [mm]a_{31} x_{1}[/mm] + [mm]a_{32} x_{2}[/mm] + [mm]a_{33} x_{3}[/mm] + [mm]a_{34} x_{4}[/mm]
> =
> > 0
> >
> > somit gäbe es die Nullmatrix als Lösung
>
> Aha.
>
> Nur wäre dann der gesuchte Raum der [mm]\IR^^4[/mm] und nicht der
> VR U.
>
> Du solltest das nochmal überarbeiten.
was genau ist der unterschied zwischen dem vorliegenden vektorraum und [mm] \IR^{4} [/mm] ?
> LG Angela
> >
> >
> > Danke im Voraus.
> >
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> >
> > Du hast hier 5 Vektoren eines 4-dimensionalen Vektorraumes.
> > Sie können nicht linear unabhängig sein.
> > nimm zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren, die linear
> > unabhängig sind.
> > Ergänze durch einen weiteren.
> > Prüfe, ob die drei unabhängig sind.
> > Wenn ja: nächsten dazunehmen, wieder prüfen.
> > Wenn nein: Vektor wegwerfen, nächsten testen.
> >
> > Immer so weiter, bis die Vektoren aufgebraucht sind bzw. Du
> > eine linear unabhängige Menge aus max. 4 Vektoren hast.
>
> meinst du jetzt irgendwelche Vektoren?
Hallo,
nein! Doch nicht irgendwelche!
Die, die angegeben sind, also die, die den Raum U erzeugen.
Nur zur Sicherheit: was ist eigentlich gemeint mit
[mm] U:=\green{L ( } \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{7 \\ 2 \\ 0 \\ 2} \vektor{2 \\ -5 \\ 0 \\ -5} \vektor{2 \\ 2 \\ 0 \\ 2}\green{ ) } [/mm] ?
Falls Du es nicht weißt: nachschlagen...
> die Standardbasen
> sind ja Möglichkeiten für linear unabhängige Vektoren.
Was meinst Du mit Standardbasen?
Der [mm] \IR^4 [/mm] hat eine Standardbasis und nicht viele.
> sprich e=(1,0,0,0) usw.
Das ist ein Standardbasisvektor.
> was bringt mir das jetzt?
Nix.
Tip:nachschlagen der Def. von Basis.
>
> > Bequemere Vorgehensweise.
> >
> > Vektoren als Spalten in eine Matrix stellen, transponieren,
> > auf Zeilenstufenform bringen, transponieren.
> > In den Spalten steht eine Basis des aufgespannten
> Raumes.
>
> wenn ich eine Matrix aufschreibe, habe ich Probleme das in
> zsf zu bringen:
>
> 1 -2 7 2 2
> 0 0 2 -5 2
> 0 0 0 0 0
> 0 0 2 -5 2
Woran hängt's?
Was hast Du über die ZSF gelernt?
Du erreichst sie durch Zeilenumformungen.
>
> (tut mir leid die Matrix Darstellung will gerade nicht
> funktionieren)
>
> > Andere Möglichkeit:
> > Zweilen als Spalten in eine Matrix, in ZSF bringen.
> > Den Rest erkläre ich Dir ggf., wenn wir die ZSF vor
> Augen
> > haben.
>
> selbes Problem, konnte zsf noch nie.
Diesen Zustand mußt Du unbedingt ändern.
Eigne Dir die Vorgehensweise bei Gaußalgorithmus unbedingt an!
> 1 -2 7 2 2
> 0 0 2 -5 2
> 0 0 0 0 0
> 0 0 2 -5 2
2.Zeile von der 4.Zeile subtrahieren
-->
1 -2 7 2 2
0 0 2 -5 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Man sieht: die Matrix hat Rang 2, also wird der Spaltenraum von 1 Vektoren erzeugt.
Die führenden Zeilenelemente stehen in der 1. und 3.Spalte, also bilden der 1. und 3. der ursprünglich hingeschriebenen Vektoren eine Basis des aufgespannten Raumes.
> > Oh, oh.
> > Nun schlag doch mal nach, wie Dimension definiert ist.
Und? Was hast Du herausgefunden?
> > > bei W:
> > >
> > > es gibt hier wohl unendlich viele Basen, bspw.
> [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> >
> > > o.ä. ?
> >
> > Das ist keine Basis.
> >
> > >
> > > Dimension = 4
> >
> >
> > ???
> >
> > Wenn die Basis aus einem Vektor besteht, ist die Dimension
> > nicht =4.
>
> dann ist sie 1?
Ja, wenn die Basis aus einem Vektor besteht, ist die Dimension des Raumes =1.
Allerdings besteht die Basis von W nicht nur aus einem Vektor.
W ist doch der Lösungsraum des LGS
[mm] x_1+x_2+x_3+x_4=0.
[/mm]
Kannst Du den bestimmen?
(Wenn nicht: eigne es Dir an. Sonst ist eine Bauchlandung in Mathe garantiert.)
>
> > >
> > > (b) Die Matrix A= [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} }[/mm]
>
> >
> > > soll mit dem Vektor x aus [mm]\IR^{4}[/mm] multipliziert 0 ergeben
> > >
> > > sprich es ist zu zeigen:
> > >
> > > [mm]a_{11} x_{1}[/mm] + [mm]a_{12} x_{2}[/mm] + [mm]a_{13} x_{3}[/mm] + [mm]a_{14} x_{4}[/mm]
> > =
> > > 0
> > >
> > > [mm]a_{21} x_{1}[/mm] + [mm]a_{22} x_{2}[/mm] + [mm]a_{23} x_{3}[/mm] + [mm]a_{24} x_{4}[/mm]
> > =
> > > 0
> > >
> > > [mm]a_{31} x_{1}[/mm] + [mm]a_{32} x_{2}[/mm] + [mm]a_{33} x_{3}[/mm] + [mm]a_{34} x_{4}[/mm]
> > =
> > > 0
> > >
> > > somit gäbe es die Nullmatrix als Lösung
> >
> > Aha.
> >
> > Nur wäre dann der gesuchte Raum der [mm]\IR^4[/mm] und nicht der
> > VR U.
> >
> > Du solltest das nochmal überarbeiten.
>
> was genau ist der unterschied zwischen dem vorliegenden
> vektorraum und [mm]\IR^{4}[/mm] ?
Der [mm] \IR^4 [/mm] ist ein Vektorraum der Dimension 4.
Der Raum U allerdings hat nur die Dimension 2, denn er wird von 2 linear unabhängigen Vektoren aufgespannt.
LG Angela
>
> > LG Angela
> > >
> > >
> > > Danke im Voraus.
> > >
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>
> > >
> > > Du hast hier 5 Vektoren eines 4-dimensionalen
> Vektorraumes.
> > > Sie können nicht linear unabhängig sein.
>
> > > nimm zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren, die linear
> > > unabhängig sind.
> > > Ergänze durch einen weiteren.
> > > Prüfe, ob die drei unabhängig sind.
> > > Wenn ja: nächsten dazunehmen, wieder prüfen.
> > > Wenn nein: Vektor wegwerfen, nächsten testen.
> > >
> > > Immer so weiter, bis die Vektoren aufgebraucht sind
> bzw. Du
> > > eine linear unabhängige Menge aus max. 4 Vektoren
> hast.
> >
> > meinst du jetzt irgendwelche Vektoren?
>
> Hallo,
>
> nein! Doch nicht irgendwelche!
> Die, die angegeben sind, also die, die den Raum U
> erzeugen.
>
> Nur zur Sicherheit: was ist eigentlich gemeint mit
>
> [mm]U:=\green{L ( } \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{7 \\ 2 \\ 0 \\ 2} \vektor{2 \\ -5 \\ 0 \\ -5} \vektor{2 \\ 2 \\ 0 \\ 2}\green{ ) }[/mm]
> ?
>
> Falls Du es nicht weißt: nachschlagen...
>
das ist der lösungsraum des linearen gleichungssystems aus U
> > die Standardbasen
> > sind ja Möglichkeiten für linear unabhängige
> Vektoren.
>
> Was meinst Du mit Standardbasen?
> Der [mm]\IR^4[/mm] hat eine Standardbasis und nicht viele.
>
> > sprich e=(1,0,0,0) usw.
>
> Das ist ein Standardbasisvektor.
>
> > was bringt mir das jetzt?
>
> Nix.
>
> Tip:nachschlagen der Def. von Basis.
>
>
> >
> > > Bequemere Vorgehensweise.
> > >
> > > Vektoren als Spalten in eine Matrix stellen,
> transponieren,
> > > auf Zeilenstufenform bringen, transponieren.
> > > In den Spalten steht eine Basis des aufgespannten
> > Raumes.
> >
> > wenn ich eine Matrix aufschreibe, habe ich Probleme das
> in
> > zsf zu bringen:
> >
> > 1 -2 7 2 2
> > 0 0 2 -5 2
> > 0 0 0 0 0
> > 0 0 2 -5 2
>
> Woran hängt's?
>
> Was hast Du über die ZSF gelernt?
> Du erreichst sie durch Zeilenumformungen.
> >
> > (tut mir leid die Matrix Darstellung will gerade nicht
> > funktionieren)
> >
> > > Andere Möglichkeit:
> > > Zweilen als Spalten in eine Matrix, in ZSF bringen.
> > > Den Rest erkläre ich Dir ggf., wenn wir die ZSF vor
> > Augen
> > > haben.
> >
> > selbes Problem, konnte zsf noch nie.
>
> Diesen Zustand mußt Du unbedingt ändern.
> Eigne Dir die Vorgehensweise bei Gaußalgorithmus
> unbedingt an!
>
>
> > 1 -2 7 2 2
> > 0 0 2 -5 2
> > 0 0 0 0 0
> > 0 0 2 -5 2
>
> 2.Zeile von der 4.Zeile subtrahieren
>
> -->
> 1 -2 7 2 2
> 0 0 2 -5 2
> 0 0 0 0 0
> 0 0 0 0 0
>
> Man sieht: die Matrix hat Rang 2, also wird der Spaltenraum
> von 1 Vektoren erzeugt.
alles klar ich dachte dass dieser schritt mir nichts bringt
> Die führenden Zeilenelemente stehen in der 1. und
> 3.Spalte, also bilden der 1. und 3. der ursprünglich
> hingeschriebenen Vektoren eine Basis des aufgespannten
> Raumes.
>
>
>
> > > Oh, oh.
> > > Nun schlag doch mal nach, wie Dimension definiert
> ist.
>
>
> Und? Was hast Du herausgefunden?
>
ich hab rausgefunden dass die Anzahl der Basen eines vektorraumes die Dimension ist
> > > > bei W:
> > > >
> > > > es gibt hier wohl unendlich viele Basen, bspw.
> > [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> > >
> > > > o.ä. ?
> > >
> > > Das ist keine Basis.
> > >
> > > >
> > > > Dimension = 4
> > >
> > >
> > > ???
> > >
> > > Wenn die Basis aus einem Vektor besteht, ist die
> Dimension
> > > nicht =4.
> >
> > dann ist sie 1?
>
> Ja, wenn die Basis aus einem Vektor besteht, ist die
> Dimension des Raumes =1.
> Allerdings besteht die Basis von W nicht nur aus einem
> Vektor.
>
sondern aus 2, somit wäre bspw. (1, 0, 0, 0) die geforderte basis und die dimension=2 als Antwort, richtig?
> W ist doch der Lösungsraum des LGS
>
> [mm]x_1+x_2+x_3+x_4=0.[/mm]
>
>
> Kannst Du den bestimmen?
>
> (Wenn nicht: eigne es Dir an. Sonst ist eine Bauchlandung
> in Mathe garantiert.)
>
es gibt unendlich viele Lösungen, aber ich weiß nicht wie man das mathematisch und allgemein ausdrückt.
> >
> > > >
> > > > (b) Die Matrix A= [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > > soll mit dem Vektor x aus [mm]\IR^{4}[/mm] multipliziert 0
> ergeben
> > > >
> > > > sprich es ist zu zeigen:
> > > >
> > > > [mm]a_{11} x_{1}[/mm] + [mm]a_{12} x_{2}[/mm] + [mm]a_{13} x_{3}[/mm] + [mm]a_{14} x_{4}[/mm]
>
> > > =
> > > > 0
> > > >
> > > > [mm]a_{21} x_{1}[/mm] + [mm]a_{22} x_{2}[/mm] + [mm]a_{23} x_{3}[/mm] + [mm]a_{24} x_{4}[/mm]
>
> > > =
> > > > 0
> > > >
> > > > [mm]a_{31} x_{1}[/mm] + [mm]a_{32} x_{2}[/mm] + [mm]a_{33} x_{3}[/mm] + [mm]a_{34} x_{4}[/mm]
>
> > > =
> > > > 0
> > > >
> > > > somit gäbe es die Nullmatrix als Lösung
> > >
> > > Aha.
> > >
> > > Nur wäre dann der gesuchte Raum der [mm]\IR^4[/mm] und nicht
> der
> > > VR U.
> > >
> > > Du solltest das nochmal überarbeiten.
> >
> > was genau ist der unterschied zwischen dem vorliegenden
> > vektorraum und [mm]\IR^{4}[/mm] ?
>
> Der [mm]\IR^4[/mm] ist ein Vektorraum der Dimension 4.
> Der Raum U allerdings hat nur die Dimension 2, denn er
> wird von 2 linear unabhängigen Vektoren aufgespannt.
>
ach es geht wieder um den Raum U aus teilaufgabe (a), ich dachte, das wäre ein neuer
> LG Angela
> >
> > > LG Angela
> > > >
> > > >
> > > > Danke im Voraus.
> > > >
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> > Nur zur Sicherheit: was ist eigentlich gemeint mit
> >
> > [mm]U:=\green{L ( } \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{7 \\ 2 \\ 0 \\ 2} \vektor{2 \\ -5 \\ 0 \\ -5} \vektor{2 \\ 2 \\ 0 \\ 2}\green{ ) }[/mm]
> > ?
> >
> > Falls Du es nicht weißt: nachschlagen...
> >
>
> das ist der lösungsraum des linearen gleichungssystems aus
> U
Hallo,
diese Antwort ist völlig unverständlich.
Es ist U die Menge, die alle Linearkombinationen, die man aus den 5 Vektoren bilden kann, enthält.
Also ist [mm] U:\{a\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} +b\vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} +c\vektor{7 \\ 2 \\ 0 \\ 2} +d \vektor{2 \\ -5 \\ 0 \\ -5} +e\vektor{2 \\ 2 \\ 0 \\ 2}|a,b,c,d,e\in?R\}.
[/mm]
> > > > Bequemere Vorgehensweise.
> > > >
> > > > Vektoren als Spalten in eine Matrix stellen,
> > transponieren,
> > > > auf Zeilenstufenform bringen, transponieren.
> > > > In den Spalten steht eine Basis des aufgespannten
> > > Raumes.
> > >
> > > wenn ich eine Matrix aufschreibe, habe ich Probleme
> das
> > in
> > > zsf zu bringen:
> > >
> > > 1 -2 7 2 2
> > > 0 0 2 -5 2
> > > 0 0 0 0 0
> > > 0 0 2 -5 2
> >
> > Woran hängt's?
> >
> > Was hast Du über die ZSF gelernt?
> > Du erreichst sie durch Zeilenumformungen.
> > >
> > > (tut mir leid die Matrix Darstellung will gerade
> nicht
> > > funktionieren)
> > >
> > > > Andere Möglichkeit:
> > > > Zweilen als Spalten in eine Matrix, in ZSF
> bringen.
> > > > Den Rest erkläre ich Dir ggf., wenn wir die ZSF
> vor
> > > Augen
> > > > haben.
> > >
> > > selbes Problem, konnte zsf noch nie.
> >
> > Diesen Zustand mußt Du unbedingt ändern.
> > Eigne Dir die Vorgehensweise bei Gaußalgorithmus
> > unbedingt an!
> >
> >
> > > 1 -2 7 2 2
> > > 0 0 2 -5 2
> > > 0 0 0 0 0
> > > 0 0 2 -5 2
> >
> > 2.Zeile von der 4.Zeile subtrahieren
> >
> > -->
> > 1 -2 7 2 2
> > 0 0 2 -5 2
> > 0 0 0 0 0
> > 0 0 0 0 0
> >
> > Man sieht: die Matrix hat Rang 2, also wird der Spaltenraum
> > von 1 Vektoren erzeugt.
>
> alles klar ich dachte dass dieser schritt mir nichts
> bringt
>
> > Die führenden Zeilenelemente stehen in der 1. und
> > 3.Spalte, also bilden der 1. und 3. der ursprünglich
> > hingeschriebenen Vektoren eine Basis des aufgespannten
> > Raumes.
Und? Wie lautet nun die gesuchte Basis?
> > > > Nun schlag doch mal nach, wie Dimension definiert
> > ist.
> > Und? Was hast Du herausgefunden?
> >
>
> ich hab rausgefunden dass die Anzahl der Basen eines
> vektorraumes die Dimension ist
Nein. Wo stand denn das?
Es ist die Dimension eines Vektorraumes gleich der Anzahl der Vektoren, welche eine Basis enthält.
Wenn Du also eine Basis eines Vektorraumes hast, kannst Du ihre Elemente zählen und kennst damit die Dimension.
> > Ja, wenn die Basis aus einem Vektor besteht, ist die
> > Dimension des Raumes =1.
> > Allerdings besteht die Basis von W nicht nur aus einem
> > Vektor.
> >
>
> sondern aus 2, somit wäre bspw. (1, 0, 0, 0) die
> geforderte basis und die dimension=2 als Antwort, richtig?
Wenn [mm] \vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] eine Basis von W wäre, hätte die Dimension 1.
Es ist aber keine Basis von W. Der von Dir angegebene Vektor ist doch gar nicht in W! (Warum nicht?)
>
> > W ist doch der Lösungsraum des LGS
> >
> > [mm]x_1+x_2+x_3+x_4=0.[/mm]
> >
> >
> > Kannst Du den bestimmen?
> >
> > (Wenn nicht: eigne es Dir an. Sonst ist eine Bauchlandung
> > in Mathe garantiert.)
> >
>
> es gibt unendlich viele Lösungen, aber ich weiß nicht wie
> man das mathematisch und allgemein ausdrückt.
Das steht da.
LG Angela
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