Dimension von Unterräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2, [mm] K^{n} [/mm] der K-Vektorraum und
[mm] U_{1} [/mm] := {x [mm] \in K^{n}: x_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{n} [/mm] = 0}
[mm] U_{2} [/mm] := {x [mm] \in K^{n}: x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - ... + [mm] (-1)^{n-1}x_{n} [/mm] = 0}
Zeige, dass [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] Untervektorräume sind und bestimme die Demension von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2}. [/mm] |
Dass [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] Untervektorräume sind, habe ich bereits nachgewiesen, die Dimension macht mir aber zu schaffen.
dim [mm] K^{n} [/mm] = n
[mm] \Rightarrow [/mm] dim [mm] U_{1} \le [/mm] n
[mm] \Rightarrow [/mm] dim [mm] U_{2} \le [/mm] n
Jetzt schau ich mir mal nur [mm] U_{1} [/mm] an. Die n Einheitsvektoren bilden keine Basis, weil für diese ja nicht [mm] x_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{n} [/mm] = 0 erfüllt ist.
Soll ich mir jetzt eine Basis suchen, beweisen, dass es eine ist und dann die Dimension davon angeben? Das stell ich mir schwer vor.
Ideen sind willkommen 
LG Tommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Definiere [mm] f:K^n \to [/mm] K durch
[mm] $f(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] = [mm] x_1+ ...+x_n$
[/mm]
Dann ist f linear .
Was ist Kern(f) ? was ist Bild(f) ?
Denke nun an die Formel
$dim (Kern(f))+dim(Bild(f)) = [mm] dim(K^n)= [/mm] n$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Das darf ich leider noch nicht verwenden, da wir die Dimensionsformel noch garnicht behandelt haben.
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Hallo,
wie sehen denn die Vektoren aus, die in [mm] U_1 [/mm] sind?
Die sind doch alle von der Machart [mm] \vektor{x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}\\-x_1-x_2-...-x_{n-1}} [/mm] = [mm] x_1*\vektor{\vdots} +x_2\vektor{\vdots}+...+x_{n-1}\vektor{\vdots}.
[/mm]
Wenn Du das hast, siehst Du ein Erzeugendenystem von [mm] U_1, [/mm] von welchem Du dann noch zeigen kannst, daß es eine Basis ist.
Gruß v. Angela
>
> [mm]U_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {x [mm]\in K^{n}: x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - ... +
> [mm](-1)^{n-1}x_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0}
>
> Zeige, dass [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] Untervektorräume sind und
> bestimme die Demension von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}.[/mm]
> Dass [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] Untervektorräume sind, habe ich
> bereits nachgewiesen, die Dimension macht mir aber zu
> schaffen.
>
> dim [mm]K^{n}[/mm] = n
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim [mm]U_{1} \le[/mm] n
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim [mm]U_{2} \le[/mm] n
>
> Jetzt schau ich mir mal nur [mm]U_{1}[/mm] an. Die n
> Einheitsvektoren bilden keine Basis, weil für diese ja
> nicht [mm]x_{1}[/mm] + ... + [mm]x_{n}[/mm] = 0 erfüllt ist.
> Soll ich mir jetzt eine Basis suchen, beweisen, dass es
> eine ist und dann die Dimension davon angeben? Das stell
> ich mir schwer vor.
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> Ideen sind willkommen
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> LG Tommy
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