Dimension von Körpern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Mi 18.11.2009 | | Autor: | matt101 |
| Aufgabe | Seinen [mm] K_{1}\subseteq K_{2} \subseteq K_{3} [/mm] Körper.
Zeigen sie:
[mm] dim_{K_{1}}(K_{3}) [/mm] = [mm] dim_{K_{2}}(K_{3}) dim_{K_{1}}(K_{2})
[/mm]
wobei [mm] dim_{K}(V) [/mm] bedeutet die Dimension von V über dem Körper K. |
Ich weiß dass ein Körper einen Vektorraum über sich selbst ist, aber irgendwie komme ich mit diesen Dimensionen über unterschiedliche Körpern nicht klar.
Kann mir das jemand vielleicht veranschaulichen oder einen Tipp geben?
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seinen [mm]K_{1}\subseteq K_{2} \subseteq K_{3}[/mm] Körper.
> Zeigen sie:
> [mm]dim_{K_{1}}(K_{3})[/mm] = [mm]dim_{K_{2}}(K_{3}) dim_{K_{1}}(K_{2})[/mm]
>
> wobei [mm]dim_{K}(V)[/mm] bedeutet die Dimension von V über dem
> Körper K.
Zeige zuerst: ist eine der Dimensionen auf der rechten Seite unendlich, so ist auch die auf der linken Seite unendlich.
Dann nimm an, die beiden auf der rechten Seite sind endlich. Waehle eine Basis [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] von [mm] $K_2$ [/mm] ueber [mm] $K_1$ [/mm] und eine Basis [mm] $w_1, \dots, w_m$ [/mm] von [mm] $K_3$ [/mm] ueber [mm] $K_2$.
[/mm]
Zeige dann, dass [mm] $v_1 w_1, \dots, v_1 w_m, v_2 w_1, \dots, v_2 w_m, \dots, v_n w_m$ [/mm] eine Basis von [mm] $K_3$ [/mm] ueber [mm] $K_1$ [/mm] ist: zeige erst, dass es ein Erzeugendensystem ist, dann, dass es linear unabhaengig ist.
> Ich weiß dass ein Körper einen Vektorraum über sich
> selbst ist, aber irgendwie komme ich mit diesen Dimensionen
> über unterschiedliche Körpern nicht klar.
>
> Kann mir das jemand vielleicht veranschaulichen oder einen
> Tipp geben?
Schau dir mal den Koerperturm [mm] $K_3 [/mm] = [mm] \IQ(\sqrt[4]{2})$, $K_2 [/mm] = [mm] \IQ(\sqrt{2})$, $K_1 [/mm] = [mm] \IQ$ [/mm] an. Dann ist [mm] $K_2 [/mm] = [mm] K_1 \oplus K_1 \sqrt{2}$, [/mm] hat also Dimension 2 ueber [mm] $K_1$. [/mm] Weiterhin ist [mm] $K_3 [/mm] = [mm] K_1 \oplus \sqrt[4]{2} K_1 \oplus \sqrt{2} K_1 \oplus \sqrt[4]{2}^3 K_1$, [/mm] hat also Dimension 4 ueber [mm] $K_1$. [/mm] Schliesslich ist [mm] $K_3 [/mm] = [mm] K_2 \oplus \sqrt[4]{2} K_2$, [/mm] hat also Dimension 2 ueber [mm] $K_2$.
[/mm]
Schreib dir mal auf, wie die Koerper genau aussehen, und warum diese Gleichheiten stimmen.
LG Felix
|
|
|
|
