Dimension von Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 So 18.12.2005 | | Autor: | gsk |
| Aufgabe | | Es seien A und B zwei Matrizen mit den Einträgen im Körper K. Zeige: Wenn das Produkt AB definiert ist, dann gilt: Rang (AB) [mm]\le[/mm] min(Rang(A), Rang(B)). (Hint.: man interpretiere den Rang als die Dimension des Bildes einer linearen Abbildung). |
Hallo,
wenn ich A als die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung f auffasse, wäre der Rang(A) gleich der Dimension vom Bild(f). Nun müßte sich da eigentlich etwas mit der Dimensionsformel machen lassen: Dim(B) = Dim(Bild(f))+Dim(Kern(f)) oder sowas in der Richtung, komme da leider nicht ganz weiter...
Das das zu zeigenden stimmt, ist mir eigentlich klar. Hilft mir aber nicht richtig weiter.
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also wenn ich dich richtig verstehe, dann sollst du nur zeigen, dass der Rang der Matrix AB kleiner gleich dem kleineren Rang von A bzw. von B ist.
Ist ja eigentlich klar.
Stell dir vor: Sowohl A als auch B sind 3x3 Matrizen. Dann ist das Kreuzprodukt AxB auch nur 3x3. Also ist der Rang dieser Matrix höchstens 3 (weil's 3 spalten und 3 Zeilen hat). Kann jedoch auch kleiner sein.
Ist jetzt B eine 3x2 Matrix, hat also höchstens Rang 2, dann ist AB eine 3x2 Matrix. Also hat auch höchstens Rang 2....
wie du das jetzt allgemein formulierst, ist dein Problem ;)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen!!
Kiki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 So 18.12.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ist jetzt B eine 3x2 Matrix, hat also höchstens Rang 2,
> dann ist AB eine 3x2 Matrix. Also hat auch höchstens Rang
> 2....
Und wenn A eine 5x1 und B eine 1x5 Matrix ist, ist AB eine 5x5-Matrix ... Was schließen wir?
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 So 18.12.2005 | | Autor: | SEcki |
> wenn ich A als die Darstellungsmatrix einer linearen
> Abbildung f auffasse, wäre der Rang(A) gleich der Dimension
> vom Bild(f). Nun müßte sich da eigentlich etwas mit der
> Dimensionsformel machen lassen: Dim(B) =
> Dim(Bild(f))+Dim(Kern(f)) oder sowas in der Richtung, komme
> da leider nicht ganz weiter...
Schon die richtige Idee, hier zwei Tips: warum ist [m]Bild(AB)\subset Bild(A)[/m]? Was ergibt die Dimensionsformel beiA eingeschränkt auf [m]Bild(B)[/m]? Zusatzaufgabe: gib ein Beispiel an, wo AB echt kleineren Rang hat als A oder B.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 So 18.12.2005 | | Autor: | gsk |
> Schon die richtige Idee, hier zwei Tips: warum ist
> [m]Bild(AB)\subset Bild(A)[/m]?
Meinst du [mm]Bild(AB)\subseteq Bild(A)[/mm]?
> Was ergibt die Dimensionsformel
> bei A eingeschränkt auf [m]Bild(B)[/m]?
> Zusatzaufgabe: gib ein
> Beispiel an, wo AB echt kleineren Rang hat als A oder B.
Finde keins...
> SEcki
Leider kann ich da keine weiteren Erkenntnise aus den Tipps ziehen, irgendwo hackt es bei mir da noch....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 18.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
vielleicht noch als kleine Anmerkung am Rande:
Wenn ich statt A und B die dazugehörigen linearen Abbildungen betrachte, was entspricht dann AB?
Und was passiert dann mit dem Ausgangsvektorraum unter dieser linearen Abbildung (hier bitte in zwei Schritten denken!)?
Vielleicht kommst Du dann auch mit SEckis Zusatzaufgabe weiter....
O.K., die Tipps sind noch etwas kryptisch, aber wir wollen Dir doch nicht den ganzen Spass nehmen, oder? 
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