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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Dimension, verallgemeinerter E
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Dimension, verallgemeinerter E: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 So 20.05.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Sei [mm] \lambda \in \IK [/mm]
Für die Matrix
[mm] \pmat{ \lambda & 1&&& \\ &\lambda&1&&& \\&&\lambda&1&\\&&&\lambda&1&\\&&&&\lambda&1\\&&&&&\lambda } [/mm]
bestimme die Dimension der Teilräume
[mm] E_\lambda [/mm] = [mm] ker(A_\lambda) \subseteq ker((A-\lambda)^2) \subseteq ....\subseteq ker((A-\lambda)^N) [/mm] = veralgemeinerter [mm] EIgenraum_\lambda [/mm]

sowie das minimale N für das [mm] ker((A-\lambda)^N) [/mm] = veralgemeinerter [mm] Eigenraum_\lambda [/mm] gilt, wobei A die Matrix bezeichnet.


Hallo,

charakteristische Polynom [mm] p=(\lambda [/mm] - [mm] z)^6 [/mm]
Eigenwert z= [mm] \lambda [/mm] mit algebraische Vielfachheit 6
[mm] E_\lambda [/mm] = ker(A - [mm] \lambda I_6 [/mm] ) [mm] =\pmat{ 0 & 1&&& \\ &0&1&&& \\&&0&1&\\&&&0&1&\\&&&&0&1\\&&&&&0 } [/mm] = [mm] -> 1 dimensional
(A - [mm] \lambda I_6)^2 [/mm] verschiebt sich diagonale mit einser um eins nach oben
..
(A - [mm] \lambda I_6)^6 [/mm] = 0 Matrix

dim(Verallgemeineter Eigenraum) = 6
Ist das minimale n dann 6 oder wie?

        
Bezug
Dimension, verallgemeinerter E: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Mo 21.05.2012
Autor: wieschoo


> Sei [mm]\lambda \in \IK[/mm]
>  Für die Matrix
>  [mm]\pmat{ \lambda & 1&&& \\ &\lambda&1&&& \\ &&\lambda&1&\\ &&&\lambda&1&\\ &&&&\lambda&1\\ &&&&&\lambda }[/mm]
>  
> bestimme die Dimension der Teilräume
>  [mm]E_\lambda[/mm] = [mm]ker(A_\lambda) \subseteq ker((A-\lambda)^2) \subseteq ....\subseteq ker((A-\lambda)^N)[/mm]
> = veralgemeinerter [mm]EIgenraum_\lambda[/mm]
>  
> sowie das minimale N für das [mm]ker((A-\lambda)^N)[/mm] =
> veralgemeinerter [mm]Eigenraum_\lambda[/mm] gilt, wobei A die Matrix
> bezeichnet.
>  
> Hallo,
>  
> charakteristische Polynom [mm]p=(\lambda[/mm] - [mm]z)^6[/mm]
>  Eigenwert z= [mm]\lambda[/mm] mit algebraische Vielfachheit 6
>  [mm]E_\lambda[/mm] = ker(A - [mm]\lambda I_6[/mm] ) [mm]=\pmat{ 0 & 1&&& \\ &0&1&&& \\ &&0&1&\\ &&&0&1&\\ &&&&0&1\\ &&&&&0 }[/mm]
> = [mm]
>  -> 1 dimensional

ok

>  (A - [mm]\lambda I_6)^2[/mm] verschiebt sich diagonale mit einser
> um eins nach oben
>  ..
>  (A - [mm]\lambda I_6)^6[/mm] = 0 Matrix
>

Müsstest dann nur noch deren Dimensionen dann nicht vergessen aufzuschreiben.

> dim(Verallgemeineter Eigenraum) = 6
>  Ist das minimale n dann 6 oder wie?

Da ist die Aufgabe recht schlecht formuliert. Ist der verallgemeinerte Eigenraum der Hauptraum?
Wenn ja, dann stimmt deine Lösung.

Sei V ein VR.
Der Hauptraum [mm]H_{A,\lambda}=\{v\in V\text{ mit }(A-\lambda I)^k( v )=0\}[/mm], wobei k die alg. Vielfachh. vom Eigenwert [mm]\lambda[/mm]. Also insb. ist die Dim = 6.

gruß
wieschoo

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