Dimension k-lineare Abbild. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:08 So 25.10.2009 | | Autor: | ahja |
| Aufgabe | Seien V und W Vektorräume der Dimension n bzw. m
1) [mm] \Lambda^K(V,W) [/mm] bezeichne den Vektorraum der antisymmetrischen k-linearen Abbildungen V x V x ... x V [mm] \to [/mm] W. Bestimmen Sie [mm] dim(\Lambda^k(V,W))
[/mm]
2) [mm] S^k(V) [/mm] bezeichne den Vektorraum der total symmetrischen k-linearen Abbildungen V x V x ... x V [mm] \to \IR
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] dim(S^k(V)) [/mm] |
Ich habe mir folgende Gedanken gemacht:
Die Dimension der total antisymmetrischen k-linearen Abbildungen in die reellen Zahlen ist folgende:
[mm] dim(\Lambda^k(V)) [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] (aus Lehrbuch)
Nun muss man für Aufgabe 1 bzw. 2 die Dimension jeweils erweitern:
Aufgabe 1:
Das Bild der k-linearen Abbildungen sind nun nicht mehr die reellen Zahlen, sondern wiederrum ein Vektorraum mit Dimension m. Muss man nun die Dimension so berechnen?
dim ( [mm] \Lambda^k(V) [/mm] ) = [mm] \vektor{n \\ k}^m [/mm]
Aufgabe 2:
Jetzt ist nicht mehr antisymmetrischen, sondern symmetrischen Abbildungen in die reellen Zahlen gefragt.
Ich habe mir dazu den Fall k=2, also 2-lineare Abbildungen, die durch Matrizen dargestellt werden als Beispiel betrachtet. Bei antisymmetrischen Matrizen sind ja die Diagonalelemente festgelegt, da sie alle Null sein müssen; bei symmetrischen Matrizen sind nun die Diagonalelemente jedoch beliebig.
Somit ist bei k=2 die Dimension der symmetrischen Abbildungen und n größer als die der antisymmetrischen, da man noch n Diagonalelemente dazunehmen muss.
Wie sieht es jedoch bei den symmetrischen k-linearen Abbildungen aus, gibt es dann [mm] n^k [/mm] zusätzliche Dimensionen???
Vielen Dank für eure Hilfe und liebe Grüße
Ahja
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.de/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 27.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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