Dimension eines Vektorraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Sa 07.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Hallo.
Es sei [tex]S={A \in M(2,2,\IR); A^T = A}[/tex] der Unterraum aller symmetrischen Matrizen des Vektorraumes [tex]V=M(2,2,\IR)[/tex] aller 2x2-Matrizen mit reellen Einträgen.
Bestimmen Sie eine Basis von S !
Meine Frage: Wie gehe ich hier am besten vor, ich finde leider keinen Ansatz ?
Mfg
[mm] dump_0
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo.
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> Es sei [tex]S=\{A \in M(2,2,\IR); A^T = A\}[/tex] der Unterraum aller
> symmetrischen Matrizen des Vektorraumes [tex]V=M(2,2,\IR)[/tex] aller
> 2x2-Matrizen mit reellen Einträgen.
> Bestimmen Sie eine Basis von S !
Nun, sei $A$ eine solche Matrix, etwa $A = [mm] \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$. [/mm] Dann gilt $A = [mm] A^T$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $a_{21} [/mm] = [mm] a_{12}$ [/mm] ist.
Jetzt schreib doch mal ein solches $A$ als Linearkombination von drei Matrizen hin, wobei [mm] $a_{11}$, $a_{12}$ [/mm] und [mm] $a_{22}$ [/mm] die Koeffizienten sein sollen.
Weisst du dann wie es weitergeht?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Sa 07.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Also das versteh ich jetzt nicht ganz mit den Koeffizienten, wie soll das dann aussehen ?
soll also [mm] a_{11} [/mm] der Koeffizient der ersten linear abhängigen Matrix sein usw. ?
Wäre es dann also [mm] b_1 [/mm] = [mm] a_{11}(x_1,y_1), b_2 [/mm] = [mm] a_{12}(x_2,y_2) [/mm] usw. ?
Danke für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Also das versteh ich jetzt nicht ganz mit den
> Koeffizienten, wie soll das dann aussehen ?
>
> soll also [mm]a_{11}[/mm] der Koeffizient der ersten linear
> abhängigen Matrix sein usw. ?
>
> Wäre es dann also [mm]b_1[/mm] = [mm]a_{11}(x_1,y_1), b_2[/mm] =
> [mm]a_{12}(x_2,y_2)[/mm] usw. ?
Was sind das fuer $x, y$?!
Ich meinte sowas: [mm] $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] a_{11} \begin{pmatrix} * & * \\ * & * \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_{12} \begin{pmatrix} * & * \\ * & * \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_{22} \begin{pmatrix} * & * \\ * & * \end{pmatrix}$
[/mm]
Jetzt musst du nur noch die $*$ durch passende Koerperelemente ersetzen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Sa 07.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Ok, jetzt hab ichs verstanden, denke ich.
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] = [mm] a_{11} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] a_{12} \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] + [mm] a_{22} \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
oder ?
Mfg
[mm] dump_0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Ok, jetzt hab ichs verstanden, denke ich.
>
> [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm] = [mm]a_{11} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> + [mm]a_{12} \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] + [mm]a_{22} \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> oder ?
Exakt. Bekommst du damit jetzt die Aufgabe vollstaendig geloest?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Sa 07.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Ja ich dachte das wäre dann die Lösung ??? :(
Was muss ich denn jetzt noch machen für das Endergebnis *dummfrag* ?
Mfg
[mm] dump_0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Ja ich dachte das wäre dann die Lösung ??? :(
>
> Was muss ich denn jetzt noch machen für das Endergebnis
> *dummfrag* ?
Nun, du hast gezeigt, dass du jede symmetrische Matrix so darstellen kannst. Jetzt musst du noch zeigen, dass jede Matrix, die so entsteht, symmetrisch ist (das ist einfach) und dass die drei Matrizen auch linear unabhaengig sind (das ist ebenfalls einfach). Dann weisst du schliesslich, dass diese drei Matrizen eine Basis von $S$ sind.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Sa 07.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Also das die aus der Basis gebildeten Matrizen symmetrisch sind, würde ich durch eine Transposition zeigen, dann dürfte sich an der 2x2 Matrix nix ändern und es ist gezeigt das sie symmetrisch ist ??
Das die 3 Matrizen lin.unabhängig sind, würde ich zeigen indem ich ihre Summe gleich 0 setze und dann schaue wann diese Summe 0 wird und das kann dann nur sein wenn alle 3 Koeffizienten gleich 0 sind.
Wäre das dann so richtig ?
Mfg
[mm] dump_0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Also das die aus der Basis gebildeten Matrizen symmetrisch
> sind, würde ich durch eine Transposition zeigen, dann
> dürfte sich an der 2x2 Matrix nix ändern und es ist gezeigt
> das sie symmetrisch ist ??
Genau. Du kannst natuerlich auch drauf Verweisen, dass $S$ ein Untervektorraum ist und dass die drei Matrizen in $S$ liegen.
> Das die 3 Matrizen lin.unabhängig sind, würde ich zeigen
> indem ich ihre Summe gleich 0 setze und dann schaue wann
> diese Summe 0 wird und das kann dann nur sein wenn alle 3
> Koeffizienten gleich 0 sind.
Genau.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Sa 07.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Ok, dann bedanke ich mich ganz herzlich für deine Bemühungen mir zu helfen, hat mir wirklich weitergeholfen :)
Mfg
[mm] dump_0
[/mm]
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