Dimension Unterraum mit Det. < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Mo 07.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
| Aufgabe | | Sei s [mm] \in \IR [/mm] . Welche Dimension hat der von [mm] (1,2,s+2)^t [/mm] , [mm] (-1,s+1,s)^t [/mm] und [mm] (0,s,1)^t [/mm] aufgespannte Unterraum von [mm] \IR [/mm] ^3 ? |
Hallo Leute,
Ich bitte um Korrektur falls meine Lösung falsch ist, da mich doch gewundert hat dass der Unterraum die selbe Dimension hat wie der Vektorraum der ihm übergeordnet ist.
A= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 2 & s+1 & s \\ s+2 & s & 1 }
[/mm]
det(A)= [mm] (s+1)-s(s+2)-s^2 [/mm] +2
für s=2: det(A)= -7 --> drei Vektoren lin unabhängig (spannen UVR auf --> dim(U)=3.
Ich war bei der Wahl für s unsicher. Kann man hier beliebige Zahlen einsetzen? S kommt ja in jedem Vektor vor.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mo 07.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Für s=2 hast du recht, aber die Frage war ja nach allen möglichen s. gibt es s , so dass die dim 2 oder 1 ist? und für welche s ist die dim 3.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 07.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
Also kann ich doch wenn ich die Determinante umform zu:
[mm] -2*s^2 [/mm] + 3*s + 3 die quadr. Lösungsformel anwenden somit ist diese Gleichung nur =0 für s1 [mm] \approx [/mm] -0,69 und s2 [mm] \approx [/mm] 2,19 . D.h. doch für s = [mm] \IR [/mm] \ {s1,s2} ist die Dimension des VR dim(a)= 3. Andernfalls hat das Gleichungssystem keine Lösung, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mo 07.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast deine Det. falsch umgeformt, dadurch sind deine s falsch.
Du musst sagen, warum die unabh. sind, wenn die gl. keine lösung hat.
und dann musst du noch die dim bestimmen, für die 2 s , wo die det=0
Gruss leduart
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Die Vektoren sind doch lin. unabhängig wenn die Determinante ungleich 0 ist? Oder hab ich das falsch verstanden.
Ich hab ein minuszeichen vergessen: Dadruch ergibt sich s1= -1,5 und s2=1 für die die det(A)=0.
Das bedeutet doch dass für diese zwei s das homogene Gleichungssystem nicht-trivial nicht lösbar ist, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Di 08.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
Es gibt doch keine definierte Dimension wenn die Det(A)= 0 ist für s1,s2 , oder? n= dim(A)
det(cA) = [mm] c^n [/mm] *det(A)
[mm] c^n [/mm] = det(cA)/det(A)
n= [mm] log_c [/mm] det(cA)/det(A)
n= [mm] log_c [/mm] 0 Widerspruch.
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Moin,
> Es gibt doch keine definierte Dimension wenn die Det(A)= 0
> ist für s1,s2 , oder? n= dim(A)
Es geht auch im Fall [mm] \det [/mm] A=0 um den Rang der Matrix, das heißt die maximale Anzahl an linear unabhängigen Spaltenvektoren.
>
> det(cA) = [mm]c^n[/mm] *det(A)
> [mm]c^n[/mm] = det(cA)/det(A)
> n= [mm]log_c[/mm] det(cA)/det(A)
>
> n= [mm]log_c[/mm] 0 Widerspruch.
Diese Rechnung verstehe ich nicht: Solltest du [mm] \det [/mm] A=0 voraussetzen und dann dadurch dividieren, so kann nichts gutes dabei rauskommen.
Wegen [mm] \det A=\det A(s)=-s^2-s+3 [/mm] hat [mm] \det [/mm] A=0 zwei Lösungen für s. Diese beiden Werte [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] kannst du in die drei Ausgangsvektoren einsetzen und "per Hand" die maximale Anzahl linear unabhängiger Elemente = Dimension des aufgespannten Vektorraums bestimmen. Da [mm] A(s_1) [/mm] und [mm] A(s_2) [/mm] nicht vollen Rang haben, ist diese Dimension kleiner 3.
Für [mm] \IR\backslash\{s_1,s_2\} [/mm] hat der aufgespannte Untervektorraum Dimension 3.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 08.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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