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| Aufgabe | (v,+,*) sei ein R-Vektorraum mit dimV=7, U1 und U2 seien zwei Unterräume von V mit dim U1=6 und dimU2=5.
Bestimmen sie alle möglichen Werte für die Dimension von (U1geschnittenU2,+,*). Geben sie für [mm] V=R^7 [/mm] konkrete Beispiele für U1 und U2 an, bei denen diese Werte angenommen werden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen,
Also wenn ich hier die Dimensionsformel benutze bekomme ich folgendes:
dim(U1geschnittenU2)=11-dim(U1+U2). So ich glaube zu wissen, dass dim(U1+U2) zwischen 1 bis 7 sein kann. Wie aber begründe ich das mathematisch korrekt. (In Prosa würde ich sagen, dass die Summe der Unterräume nicht die Dimension von V übersteigen kann, und dass die mindestens in einer Dimension identisch sind).
Es wäre sehr nett wenn sich jemand um die geforderten Beispiele bemühen könnte. Mir fällt da einfach nichts ein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Do 12.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (v,+,*) sei ein R-Vektorraum mit dimV=7, U1 und U2 seien
> zwei Unterräume von V mit dim U1=6 und dimU2=5.
> Bestimmen sie alle möglichen Werte für die Dimension von
> (U1geschnittenU2,+,*). Geben sie für [mm]V=R^7[/mm] konkrete
> Beispiele für U1 und U2 an, bei denen diese Werte
> angenommen werden.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Zusammen,
>
> Also wenn ich hier die Dimensionsformel benutze bekomme ich
> folgendes:
> dim(U1geschnittenU2)=11-dim(U1+U2).
benutze bitte den Formeleditor (klick auf die Formel oder fahr mit der Maus drüber und halte sie ein wenig drauf):
[mm] $$\dim(U_1 \cap U_2)=\underbrace{11}_{\dim(U_1)+\dim(U_2)}-\dim(U_1+U_2)\,.$$
[/mm]
> So ich glaube zu
> wissen, dass dim(U1+U2) zwischen 1 bis 7 sein kann. Wie
> aber begründe ich das mathematisch korrekt. (In Prosa
> würde ich sagen, dass die Summe der Unterräume nicht die
> Dimension von V übersteigen kann, und dass die mindestens
> in einer Dimension identisch sind).
Es ist eher so: Sicherlich ist [mm] $U_1 \cap U_2$ [/mm] ein Unterraum sowohl von [mm] $U_1$ [/mm] als auch von [mm] $U_2\,,$ [/mm] daher ist [mm] $\dim(U_1 \cap U_2) \le \min\{\dim(U_1),\;\dim(U_2)\}=\min\{6,\;5\}=5\,.$
[/mm]
Ferner gilt sicherlich, dass [mm] $\dim(U_1+U_2) \le \dim(V)=7$ [/mm] ist (schließlich ist ja [mm] $U_1+U_2$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $V\,$), [/mm] und da [mm] $U_\ell$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $U_1+U_2$ [/mm] ist (für [mm] $\ell=1,\;2$), [/mm] folgt [mm] $\dim(U_1+U_2) \ge \max\{\dim(U_1),\;\dim(U_2)\}=\max\{6,\;5\}=6\,.$
[/mm]
Somit ist $6 [mm] \le \dim(U_1+U_2) \le 7\,.$ [/mm] Also
$$6 [mm] \le \underbrace [/mm] {11 - [mm] \dim(U_1\cap U_2)}_{=\dim(U_1+U_2)} \le 7\,.$$
[/mm]
(Und hier kommt Deine Formel von oben erst ins Spiel, wie Du siehst!)
Ich sehe so nur [mm] $\dim(U_1 \cap U_2) \in \{4,\;5\}\,.$
[/mm]
> Es wäre sehr nett wenn sich jemand um die geforderten
> Beispiele bemühen könnte. Mir fällt da einfach nichts
> ein.
Man kann hier eigentlich relativ leicht/naiv etwas hinschreiben:
1.) Für [mm] $V=\IR^7$ [/mm] und [mm] $U_1:=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,0)^T: x_j \in \IR \text{ für }j=1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] und [mm] $U_2:=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,0,0)^T: x_k \in \IR \text{ für }k=1,2,3,4,5\}$ [/mm] gilt bzgl. [mm] $\dim(U_1 \cap U_2)$ [/mm] nun was? (Tipp: Überlege Dir, wie [mm] $U_1 \cap U_2$ [/mm] aussieht!)
2.) Nimm' das vorangegangene Beispiel und ändere dort nur bzgl. [mm] $U_1$ [/mm] die "Komponente, wo immer [mm] $0\,$ [/mm] stehen soll". Verschiebe sie an eine der ersten 5 Positionen.
Du siehst also: Deine Vermutung [mm] $\dim(U_1+U_2) \in \{1,2,3,4,5,6,7\}$ [/mm] kann man stärker einschränken - es gilt nur [mm] $\dim(U_1+U_2) \in \{6,\;7\}$ [/mm] bzw. [mm] $\dim(U_1 \cap U_2) \in \{4,\;5\}\,,$ [/mm] und mehr kann man nicht sagen, wie die Beispiele zeigen!
Gruß,
Marcel
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Was hat es denn mit dem ^T bei den Unterräumen auf sich. Diese Notation ist mir leider unbekannt
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Hallo,
das "T" bedeutet "transponiert".
Ein Vektor [mm]\vec x\in\IR^n[/mm] schreibt sich ja [mm]\vec x=\vektor{x_1\\
x_2\\
\vdots{}\\
x_n}[/mm]
Das kostet viel Platz, stattdessen schreibt man auch [mm](x_1,x_2,\ldots, x_n)^T[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Zum ersten Beispiel:
Der Schnitt von U1 und U2 ist doch einfach {x1,x2,x3,x4,x5,0} hat also die Dimension 5, richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Do 12.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zum ersten Beispiel:
>
> Der Schnitt von U1 und U2 ist doch einfach
> {x1,x2,x3,x4,x5,0} hat also die Dimension 5, richtig ?
Nein. {x1,x2,x3,x4,x5,0} ist nur ein Vektor (wenn überhaupt, wegen der Mengenklammern) des [mm] \IR^6
[/mm]
Du befindest Dich aber im [mm] \IR^7
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Fr 13.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Vaire,
> Zum ersten Beispiel:
>
> Der Schnitt von U1 und U2 ist doch einfach
> {x1,x2,x3,x4,x5,0} hat also die Dimension 5, richtig ?
wie Fred schon sagte, kannst Du das wegen der Mengenklammern schon nicht so schreiben_ Vielleicht meintest Du [mm] $\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,0,0)^T\}$ [/mm] - und selbst dann hast Du eine Komponente vergessen, und diese Notation ist auch falsch, weil dort eigentlich nur eine einelementige Menge steht. Du müßtest "mindestens" schreiben [mm] $\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,0,0)^T \in \IR^7\}$ [/mm] oder besser [mm] $\{x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,0,0)^T: x \in \IR^7\}\,,$ [/mm] was bedeutet [mm] $\bigcup_{x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,0,0)^T \in \IR^7}\{x\}\,.$
[/mm]
(Nicht nur, aber insbesondere) In der Schule gängig ist halt auch die Notation
[mm] $$\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,0,0)^T:\;x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \in \IR\}\,.$$
[/mm]
Kurzgesagt ist der Schnitt beim ersten Beispiel gerade wieder [mm] $U_2$ [/mm] - beweis' uns das mal bitte (und benutze bitte den Formeleditor) - und beachte bitte, dass [mm] $U_2 \subseteq \IR^7\,.$ [/mm] Sonst wäre das Beispiel doch unsinnig:
Unterräume eines Vektorraums [mm] $(V,\oplus,\odot)\,$ [/mm] sind doch nichts anderes als eigene Vektorräume $(U, [mm] \oplus_{U}, \odot_{U})$, [/mm] wobei gelten soll, dass [mm] $\oplus_{U}$ [/mm] die Einschränkung von [mm] $\oplus$ [/mm] auf $U [mm] \times [/mm] U$ ist: also [mm] $\oplus_U=\oplus_{|U \times U}\,,$ $\odot_{U}$ [/mm] ist die Einschränkung von [mm] $\odot$ [/mm] auf $U [mm] \times U\,,$ [/mm] also [mm] $\odot_U=\odot_{|U \times U}$ [/mm] - und alleine schon hier siehst Du, dass dabei $U [mm] \subseteq [/mm] V$ gelten soll, was man dann zudem fordert (eigentlich an erster Stelle)!
P.S.
Mach' Dir bitte klar, dass man [mm] $A=\{a: a \in A\}$ [/mm] (für eine (nichtleere) Menge [mm] $A\,$) [/mm] schreibt bzw. dass gilt
[mm] $$A=\{a: \;a \in A\}=\bigcup_{a \in A}\{a\}\,,$$
[/mm]
während man in der Notation [mm] $\{a\}$ [/mm] einfach nur die einelementige Menge mit dem Element [mm] $a\,$ [/mm] lesen würde (wo immer das auch herkäme und was immer das auch ist).
P.P.S.
Versuche dann mal, die Menge
[mm] $$\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,0,0)^T:\;x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \in \IR\}$$
[/mm]
also Vereinigung zu schreiben:
[mm] $$\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,0,0)^T:\;x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \in \IR\}= \bigcup_{x_1 \in \IR} \;\bigcup_{x_2 \in \IR}...$$
[/mm]
Ich denke nämlich, dass Dir gewisse Notationen noch nicht so ganz klar sind!
Gruß,
Marcel
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