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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 So 22.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | | Welche Dimension hat der Teilraum des $ [mm] \IR^n [/mm] $, der aus den Lösungsvektoren $ x $ einer homogenen linearen Gleichung mit $ n $ Unbekannten besteht? |
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Erstmal ein paar Überlegungen:
Die Gleichung hat die Form: $ Ax=0 $
1. Fall: Die Matrix $ A $ ist quadratisch also $ n [mm] \times [/mm] n $
a) Es gibt nur die Triviale Lösung -> $ dim(T)=0 $
b) $ r(a) < n [mm] \Rightarrow [/mm] $ Es gibt unendlich viele Lösungen.
2. Fall: Die Matrix $ A $ ist eine $ m [mm] \times [/mm] n $ Matrix, mit $ m < n $, so gilt 1. b), da $ r(A) < n $ immer gilt.
3. Fall: $ m>n $
Hier müssten die gleichen Überlegungen, wie zu 1. a) und b) gelten?
Interessant ist eigentlich nur der Fall 1. b):
Ist $ n - r(A) = 1 $, so kann man einen Parameter des Lösungsvektors frei wählen. Die Menge aller Lösungsvektoren wären dann aber linear abhängig und die Dimension des Raumes mit den Lösungsvektoren als Basis wäre $ dim(T)=1 $.
Ist $ n - r(A) = 2 $, so sind 2 Parameter frei wählbar.
Die Dimension wäre folglich $ dim(T)=2 $.
Ich denke mal, dass die Dimension immer $ n - r(A) $ ist.
Aber wie kann man das beweisen, also mathematisch formal?
Vielen Dank :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 So 22.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Welche Dimension hat der Teilraum des [mm]\IR^n [/mm], der aus den
> Lösungsvektoren [mm]x[/mm] einer homogenen linearen Gleichung mit [mm]n[/mm]
> Unbekannten besteht?
> Hallo,
>
> ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich diese Aufgabe lösen
> soll. Erstmal ein paar Überlegungen:
>
> Die Gleichung hat die Form: [mm]Ax=0[/mm]
>
> 1. Fall: Die Matrix [mm]A[/mm] ist quadratisch also [mm]n \times n[/mm]
In der Aufgabe steht nicht Gleichungssystem. Es geht um nur eine Gleichung der Form
[mm] a_1x_1+\dots+a_nx_n=0 [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:51 Mo 23.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
Cool, jetzt verstehe ich auch den Zusammenhang der beiden Aufgabenteile^^
Die Dimension müsste doch dann n-1 sein, richtig?
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> Die Dimension müsste doch dann n-1 sein, richtig?
Ja.
Gruß v. Angela
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