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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Dimension, Multilinear
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Dimension, Multilinear: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:58 Sa 19.01.2013
Autor: theresetom

Aufgabe
Für endlich dimensionaler Vektorräume [mm] V_1 [/mm] ,.., [mm] V_n [/mm] zeige
[mm] dim(V_1 \times... \times V_n)= dim(V_1)+..+dim(V_n) [/mm]

Induktion nach i :
i=2
[mm] \alpha [/mm] : [mm] V_1 [/mm] x [mm] V_2 [/mm] -> [mm] V_1 [/mm] lin. Abbildung
[mm] (v_1 [/mm] , [mm] v_2) [/mm] -> [mm] v_1 [/mm]
Nach Dimensionssatz: [mm] dim(V_1 [/mm] x [mm] V_2 [/mm] )= [mm] dim(img(\alpha))+ dim(ker(\alpha)) [/mm]
[mm] img(\alpha)= V_1 [/mm]
[mm] ker(\alpha) [/mm] = [mm] (0,v_2) [/mm] Warum ist dann [mm] ker(\alpha) \cong V_2 [/mm] ???
Weil anders würde es nicht funktionieren????


I.Annahme: [mm] dim(V_1 [/mm] x... x [mm] V_n)= dim(V_1)+..+dim(V_n) [/mm]
I.Schritt:  [mm] \psi: (V_1 [/mm] x... x [mm] V_n [/mm] x [mm] V_{n+1}) [/mm] -> [mm] V_{n+1} [/mm]
[mm] dim(V_1 [/mm] x... x [mm] V_n [/mm] x [mm] V_{n+1}) =dim(img(\psi))+ dim(ker(\psi))= dim(V_{n+1})+ dim(V_1 [/mm] x... x [mm] V_n)= dim(V_{n+1})+ dim(V_1)+..+dim(V_n) [/mm]
wobei letzte Gleichheitszeichen die Induktionsvorrausetzung ist

-> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=512419

        
Bezug
Dimension, Multilinear: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:08 So 20.01.2013
Autor: Teufel

Hi!

Ok, also [mm] ker(\alpha)=\{(0,v)\in V_1 \times V_2|v\in V_2\}=\{0\} \times V_2. [/mm] Du kannst nun einen Isomorphismus von [mm] \{0\} \times V_2 [/mm] nach [mm] V_2 [/mm] angeben (oder meinetwegen auch umgekehrt). Was ist denn die einfachste Abbildung (außer der Nullabbildung), die dir einfällt zwischen diesen Vektorräumen? Zeige dann, dass diese ein Isomorphismus ist.

Bezug
                
Bezug
Dimension, Multilinear: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 So 20.01.2013
Autor: theresetom


> Du kannst nun einen Isomorphismus von $ [mm] \{0\} \times V_2 [/mm] $ nach $ [mm] V_2 [/mm] $ angeben (oder meinetwegen auch umgekehrt)

{0} [mm] \times V_2 [/mm] -> [mm] V_2, (0,v_2) [/mm] -> [mm] v_2 [/mm] Isomorphismus

LG

Bezug
                        
Bezug
Dimension, Multilinear: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 So 20.01.2013
Autor: fred97


> > Du kannst nun einen Isomorphismus von [mm]\{0\} \times V_2[/mm] nach
> [mm]V_2[/mm] angeben (oder meinetwegen auch umgekehrt)
>  
> {0} [mm]\times V_2[/mm] -> [mm]V_2, (0,v_2)[/mm] -> [mm]v_2[/mm] Isomorphismus

Ja

FRED

>  
> LG


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