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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Sa 12.07.2008 | | Autor: | dbzworld |
Hallo, habe ein paar kurze fragen zum bestimmen der Basis vom Kern und deren Dimension:
Beispiel
gegeben sei:
A mit
-1 -1 -1
3 3 1
1 1 1
um den Kern zu ermitteln muss man den Null Vektor abbilden können,
also A*x=0
Die Matrix mit Gauß lösen:
1 1 1
0 0 2
0 0 0
z=0, y=t
x+t=0
x=-t
Lösung: [mm] t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
die wäre auch die einzige Basis vom Kern, Dimension wäre 1 da wir nur eine Basis haben. Soweit so gut, ich habe aber im Internet ein anderes Beispiel entdeckt wo ich nicht alles verstehe:
Matrix A ist gegeben:
1 2 2 -1 3
1 2 3 1 1
3 6 8 1 5
-> Gauß
1 2 2 -1 3
0 0 1 2 -2
0 0 0 0 0
x5=t
2.Zeile
x3+2x4-2t=0
x4=t-1/2x3
1.Zeile
x1+2x2+2x3+t-1/2x3+3t=0
...
x1=-2x2-3/2x3-4t
also habe ich drei Lösungen, jetzt wird auf der Webseite wo ich diese Aufgabe gefunden habe gesagt, dass Dimension des Kernes 3 ist weil wir drei Lösungen haben. Genau das verstehe nicht ganz, heißt Lösung 3 das unsere Lösung von drei Parametern also x2,x3 und x5=t abhängt?
Weil oben in der ersten Aufgabe hängt die Lösung nur von einem Parameter ab und zwar t=y.
Wie würde die Basis nun bei der zweiten Aufgabe aussehen?
Wäre nett wenn mir jemand die Basis hinschreiben könnte.
vielen dank
gruß
dbzworld
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Hallo!
Wenn du die Matrix
[mm]A = \pmat{ 1 & 2 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 6 & 8 & 1 & 5 }[/mm]
entsprechend auf die Zeilenstufenform bringst,
[mm]A = \pmat{ 1 & 2 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm].
Kannst du schon mit dem Dimensionssatz die Dimension der Basis (= Anzahl der frei wählbaren Parameter bei Darstellung der Lösung von A*x = o) ausrechnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
dim(V) ist bei dir 5, und rg(A) = 2. (Nach Umformung in Zeilenstufenform haben wir noch 2 lin. unabhängige Zeilen), folglich ist dim(ker(A)) = 5 - 2 = 3.
Und mit einer Berechnung läuft es auch darauf hinaus:
Damit wir alle Lösungen des LGS
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}} = o[/mm]
darstellen können, müssen wir 3 freie Parameter wählen: [mm] \mu, \nu, \lambda \in \IR. [/mm] Wir setzen
[mm] x_{5} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \nu
[/mm]
Wir können nicht [mm] x_{3} [/mm] frei wählen, weil die zweite Zeile uns konkret eine Beziehung zwischen [mm] x_{5},x_{4} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] vorgibt. Nun berechnen wir einfach noch [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] anhand der Zeilenstufenform:
(Zeile2) [mm] x_{3} [/mm] + [mm] 2x_{4} [/mm] - [mm] 2x_{5} [/mm] = 0 [mm] \gdw x_{3} [/mm] = [mm] -2x_{4} [/mm] + [mm] 2x_{5} [/mm] = [mm] -2\mu [/mm] + [mm] 2\lambda.
[/mm]
(Zeile1) [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] - [mm] 1x_{4} [/mm] + [mm] 3x_{5} [/mm] = 0 [mm] \gdw x_{1} [/mm] = [mm] -2x_{2} [/mm] - [mm] 2x_{3} [/mm] + [mm] 1x_{4} [/mm] - [mm] 3x_{5} [/mm] = [mm] -2\nu [/mm] - [mm] 2*(-2\mu [/mm] + [mm] 2\lambda) [/mm] + [mm] \mu [/mm] - [mm] 3\lambda [/mm] = [mm] -2\nu [/mm] + [mm] 5\mu [/mm] - [mm] 7\lambda.
[/mm]
Also lassen sich Lösungsvektoren darstellen als:
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}} [/mm] = [mm] \vektor{-2\nu + 5\mu - 7\lambda\\ \nu \\ -2\mu + 2\lambda \\ \mu \\ \lambda}.
[/mm]
Eine Basis dieses entstandenen 3-dimensionalen Lösungsraumes erhältst du nun, indem du den Lösungsvektoren nach den frei wählbaren Variablen auseinanderziehst:
[mm] \vektor{-2\nu + 5\mu - 7\lambda\\ \nu \\ -2\mu + 2\lambda \\ \mu \\ \lambda} [/mm] = [mm] \vektor{-2\nu \\ \nu \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{5\mu\\ 0\\ -2\mu \\ \mu \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{- 7\lambda\\ 0 \\ 2\lambda \\ 0 \\ \lambda} [/mm] = [mm] \nu*\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{5\\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{- 7\\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Die einzelnen Vektoren, die nun dastehen, bilden eine Basis des Kerns.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Sa 12.07.2008 | | Autor: | dbzworld |
Wunderbar erklärt, du hast sogar die Fragen beantwortet die ich vergessen hatte hinzuschreiben^^, daher vielen vielen dank!
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