Dimension < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 So 16.09.2007 | | Autor: | elefanti |
| Aufgabe | Sei V' ein Unterraum von V von einer linearen Abbildung F: V -> W.
Zeige, dass dim(F(V')) <= dim(V') ist. |
Hallo,
wir hatten als Satz den Dimensionssatz:
dim(V) = dim ker(F) + dim im(F)
Ich dachte: F(V') <=> im(F')
Dann wäre es ja nur anwenden des Dimensionssatzes:
dim(V') = dim ker(F') + dim im(F')
<=> dim(V') = dim im(F') + dim ker(F')
<=> dim(V') >= dim im(F') + 0
<=> dim(V') >= dim im(F')
So, da das doch irgendwie zu einfach ist, denke ich nicht mehr dass F(V') <=> im(F') ist. Was ist mit F(V') wohl gemeint?
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 So 16.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
"ein Unterraum von V von einer linearen Abb.." ???
klingt seltsam und unverständlich.
Ich denke aber, es ist wohl klar, was gemeint ist:
Das Bild eines Vektorraumes unter einer linearen Abbildung kann nicht höherdimensional sein, als der Urbildraum. Bestenfalls bleibt die Dimension erhalten, nämlich dann, wenn die Abbildung injektiv ist, der Kern also nur aus dem Nullraum besteht.
Deine Argumentation und der Beweis sind korrekt. Mit F(V') kann auch nichts anderes gemeint sein. Manche Beweise sind eben so einfach 
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