Dim V = n - m + q < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Sa 27.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei A eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten und sei $q$ die Anzahl der Nullzeilen aus der Zeilenstufenform, dann gilt:
$dim V = n - m + q$ |
Hallo,
Der Rangsatz lautet: $dim V = rang f + def f $ wobei $rang f = dim im f$ und $def f = dim ker f $.
Sei meine ZSF:
$ [mm] \vektor{2&1&5&1\\0&-1.5&-1.5&-0.5\\0&0&0&0} [/mm] $
dann habe ich $n=4$ spalten, $m=3 $ zeilen und $q= 1 $ nullzeilen. Und somit wäre:
$dim V = 2 , rang f = 2 $ und somit nach dem Rangsatz $dim ker f = 0$
das stimmt aber nicht wenn man die Basen des kerns berechnet erhält man $def f = dim ker = 2$
siehe hier
Die Behauptung in der Aufgabe wurde bewiesen, der Rangsatz auch???
Wenn jemand meine Verwirrung aufklären könnte, wäre ich darüber sehr dankbar.
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
wenn du nun noch sauber definieren würdest, was V in obigem Satz ist, würde die Sache gleich viel klarer sein.
Bei deiner Aufgabe gilt anscheinend:
$f: [mm] \IR^4 \to [/mm] V$
Und der Rangsatz würde dann sagen:
[mm] $\dim(\IR^4) [/mm] = [mm] \text{rang}(f) [/mm] + [mm] \dim(\text{kern}(f))$
[/mm]
Was ja auch völlig korrekt wäre.
Und ebenso korrekt wäre:
[mm] $\dim(V) [/mm] = n-m+q$
Vermutlich ist das nur ein Fall von "Verwirrung durch Abweichung von der normalen Notation", denn meist schreibt man ja:
$f: V [mm] \to [/mm] W$
bei obigem Satz gilt aber anscheinend
$f: W [mm] \to [/mm] V$ 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 So 28.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Gonozal,
vorgegeben war in diesem Abschnitt (vor diesem Hilfssatz) noch: $V [mm] \subset K^{n}$...
[/mm]
das hier :
$n = rang f + def f $
$def f = n-m+q$
$rang f = m-q$
stimmt doch??
> Gono.
Danke
Gruss
kushkush
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> Hallo Gonozal,
>
>
> vorgegeben war in diesem Abschnitt (vor diesem Hilfssatz)
> noch: [mm]V \subset K^{n}[/mm]...#
Hallo,
nee, irgendwas muß da noch über V gestanden haben.
Vielleicht, daß V=Bildf...
Dies zu wissen, wäre für die Bewertung der Aussage bzw. ihren Beweis wirklich essentiell.
>
> das hier :
>
>
> [mm]n = rang f + def f[/mm]
>
> [mm]def f = n-m+q[/mm]
>
> [mm]rang f = m-q[/mm]
>
>
> stimmt doch??
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 So 28.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hi Angela,
> erklärung
Danke!
Gruss
kushkush
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> Bei deiner Aufgabe gilt anscheinend:
>
> [mm]f: \IR^4 \to V[/mm]
>
> Und der Rangsatz würde dann sagen:
> [mm]\dim(\IR^4) = \text{rang}(f) + \dim(\text{kern}(f))[/mm]
>
> Was ja auch völlig korrekt wäre.
>
> Und ebenso korrekt wäre:
>
> [mm]\dim(V) = n-m+q[/mm]
Nicht unbedingt.
Wenn nämlich [mm] V=\IR^3, [/mm] dann kommt das überhaupt nicht hin...
Gruß v. Angela
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