Diffie-Hellmann Schlüsselaust. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:04 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | | Bzgl. des Diffie-Hellmann-Schlüsselaustausch Protokolls wählen Max und Sebastian eine Prinzahl $p [mm] \in \IP$ [/mm] und ein $g [mm] \in \IN$ [/mm] mit Ordnung [mm] $p-1\,$ [/mm] modulo [mm] $p\,.$ [/mm] |
Hallo,
obige Vorgehensweise wird so in "Elementare und algebraische
Zahlentheorie" von Müller-Stach und Piontkowski beschrieben. Jetzt
bin ich irritiert:
Das bedeutet doch: Ist $p [mm] \in \IP\,,$ [/mm] so betrachtet man $g [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass $o(g)=p-1 [mm] \mod [/mm] p$
(d.h. [mm] $o(g)\,$ [/mm] läßt den Rest [mm] $p-1\,$ [/mm] bei der Division [mm] $o(g):p\,$), [/mm] wobei
[mm] $$o(g)=|<\{g\}>|$$
[/mm]
mit [mm] $|<\{g\}>|=\left|\bigcap_{\substack{U \le \IZ/p\IZ\\\{g\} \subseteq U}}U\right|\,.$
[/mm]
Existiert denn immer ein solches $g [mm] \in \IN$? [/mm] Das ist mir unklar und das finde
ich auch nicht trivial.
Beispielsweise habe ich mal [mm] $p=13\,$ [/mm] betrachtet. Dann ist [mm] $\IZ/13\IZ=\{\overline{0},\;\ldots,\;\overline{12}\}\,.$
[/mm]
Eigentlich brauche ich doch jetzt nur [mm] $<\{\overline{g}\}>$ [/mm] für [mm] $g=0,\ldots,12$
[/mm]
zu betrachten, oder? Der Einfachheit/Faulheit wegen schreibe ich mal nur
$<g>$ anstatt [mm] $<\{\overline{g}\}>$ [/mm] etc. pp.:
[mm] $$<0>=\{0\}\,.$$
[/mm]
[mm] $$<1>=\{0,...,12\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
[mm] $$<2>=\{0,2,4,6,...,12,1,3,5,7,9,11\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
[mm] $$<3>=\{0,3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
[mm] $$<4>=\{0,4,8,12,3,7,11,2,6,10,1,5,9\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
[mm] $$<5>=\{0,5,10,2,7,12,4,9,1,6,11,3,8\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
[mm] $$<6>=\{0,6,12,5,11,4,10,3,9,2,8,1,7\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
[mm] $$<7>=\{0,7,1,8,2,9,3,10,4,11,5,12,6\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
[mm] $$<8>=\{0,8,3,11,6,1,9,4,12,7,2,10,5\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
[mm] $$<9>=\{0,9,5,1,10,6,2,11,7,3,12,8,4\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
[mm] $$<10>=\{0,10,7,4,1,11,8,5,2,12,9,6,3\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
[mm] $$<11>=\{0,11,9,7,5,3,1,12,10,8,6,4,2\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
[mm] $$<12>=\{0,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1\}=\IZ/13\IZ\,.$$
[/mm]
Jetzt nehme ich doch mal stark an, dass ich hier irgendwo einen Fehler gemacht
habe. Habe ich die von einem Element erzeugten Untergruppen falsch
aufgestellt?
Ich dachte eigentlich, dass ich die so konstruieren kann:
[mm] $$=\{\overline{r_j}:\;\;k \cdot g \equiv r_j \mod p:\;\;k \in \IN_0\}\,,$$
[/mm]
wobei ich die [mm] $\overline{r_j}$ [/mm] oben halt nur als [mm] $r_j$ [/mm] schreibe.
Nun sehe ich aber oben keine Untergruppe von [mm] $\IZ/13\IZ\,,$ [/mm] deren Ordnung
bei Division durch 13 den Rest 12 ließe?
Fazit: Wenn das im Buch Gesagte immer geht, dann gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Meine obigen Untergruppen sind einfach, zumindest teilweise, falsch,
insbesondere ist meine "Konstruktionsmethode" dann schlichtweg falsch.
oder
2. Ich verstehe die Aussage im Buch einfach falsch.
P.S. Bitte nun keine anderen Charakterisierungen mit Primitivwurzeln etc.
pp. bringen, ich will das Ganze mit den oben erwähnten Definitionen
verstehen - insbesondere will ich das Beispiel verstehen, wenn man also
bspw. [mm] $p=13\,$ [/mm] wählt!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> Bzgl. des Diffie-Hellmann-Schlüsselaustausch Protokolls
> wählen Max und Sebastian eine Prinzahl [mm]p \in \IP[/mm] und ein [mm]g \in \IN[/mm]
> mit Ordnung [mm]p-1\,[/mm] modulo [mm]p\,.[/mm]
>
>
>
>
> Hallo,
>
> obige Vorgehensweise wird so in "Elementare und
> algebraische
> Zahlentheorie" von Müller-Stach und Piontkowski
> beschrieben. Jetzt
> bin ich irritiert:
> Das bedeutet doch: Ist [mm]p \in \IP\,,[/mm] so betrachtet man [mm]g \in \IN[/mm]
> so, dass [mm]o(g)=p-1 \mod p[/mm]
> (d.h. [mm]o(g)\,[/mm] läßt den Rest
> [mm]p-1\,[/mm] bei der Division [mm]o(g):p\,[/mm]), wobei
> [mm]o(g)=|<\{g\}>|[/mm]
Nein das gilt nicht, die Schreibweise ist auch sehr mit Vorsicht zu genießen.
Besser o(g)=p-1 in [mm] $(\mathbb [/mm] Z/p [mm] \mathbb Z)^\times$
[/mm]
> mit [mm]|<\{g\}>|=\left|\bigcap_{\substack{U \le \IZ/p\IZ\\\{g\} \subseteq U}}U\right|\,.[/mm]
>
> Existiert denn immer ein solches [mm]g \in \IN[/mm]? Das ist mir
> unklar und das finde
> ich auch nicht trivial.
Trivial ist es nicht. Schau dir mal Satz 7.2 an (allerdings mag ich den dortigen Beweis nicht)
Jede endliche Untergruppe der Einheitengruppe eines Int. rings ist zyklisch.
> Beispielsweise habe ich mal [mm]p=13\,[/mm] betrachtet. Dann ist
> [mm]\IZ/13\IZ=\{\overline{0},\;\ldots,\;\overline{12}\}\,.[/mm]
>
> Eigentlich brauche ich doch jetzt nur [mm]<\{\overline{g}\}>[/mm]
> für [mm]g=0,\ldots,12[/mm]
> zu betrachten, oder? Der Einfachheit/Faulheit wegen
> schreibe ich mal nur
> [mm][/mm] anstatt [mm]<\{\overline{g}\}>[/mm] etc. pp.:
>
> [mm]<0>=\{0\}\,.[/mm]
> [mm]<1>=\{0,...,12\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> [mm]<2>=\{0,2,4,6,...,12,1,3,5,7,9,11\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> [mm]<3>=\{0,3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> [mm]<4>=\{0,4,8,12,3,7,11,2,6,10,1,5,9\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> [mm]<5>=\{0,5,10,2,7,12,4,9,1,6,11,3,8\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> [mm]<6>=\{0,6,12,5,11,4,10,3,9,2,8,1,7\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> [mm]<7>=\{0,7,1,8,2,9,3,10,4,11,5,12,6\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> [mm]<8>=\{0,8,3,11,6,1,9,4,12,7,2,10,5\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> [mm]<9>=\{0,9,5,1,10,6,2,11,7,3,12,8,4\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> [mm]<10>=\{0,10,7,4,1,11,8,5,2,12,9,6,3\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> [mm]<11>=\{0,11,9,7,5,3,1,12,10,8,6,4,2\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> [mm]<12>=\{0,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
Das sind die additiven Untergruppen von [mm] $(\mathbb [/mm] Z / 13 [mm] \mathbb [/mm] Z, + )$.
Du suchst aber die multiplikativen Untergruppen von [mm] $((\mathbb [/mm] Z/13 [mm] \mathbb Z)^\times,\cdot)$.
[/mm]
So ist z.B. [mm] $<3>=\{3,9,1\}$
[/mm]
> Jetzt nehme ich doch mal stark an, dass ich hier irgendwo
> einen Fehler gemacht
> habe. Habe ich die von einem Element erzeugten
> Untergruppen falsch
> aufgestellt?
> Ich dachte eigentlich, dass ich die so konstruieren kann:
> [mm]=\{\overline{r_j}:\;\;k \cdot g \equiv r_j \mod p:\;\;k \in \IN_0\}\,,[/mm]
>
> wobei ich die [mm]\overline{r_j}[/mm] oben halt nur als [mm]r_j[/mm]
> schreibe.
>
> Nun sehe ich aber oben keine Untergruppe von [mm]\IZ/13\IZ\,,[/mm]
> deren Ordnung
> bei Division durch 13 den Rest 12 ließe?
>
> Fazit: Wenn das im Buch Gesagte immer geht, dann gibt es
> zwei Möglichkeiten:
> 1. Meine obigen Untergruppen sind einfach, zumindest
> teilweise, falsch,
> insbesondere ist meine "Konstruktionsmethode" dann
> schlichtweg falsch.
>
> oder
>
> 2. Ich verstehe die Aussage im Buch einfach falsch.
>
> P.S. Bitte nun keine anderen Charakterisierungen mit
> Primitivwurzeln etc.
> pp. bringen, ich will das Ganze mit den oben erwähnten
> Definitionen
> verstehen - insbesondere will ich das Beispiel verstehen,
> wenn man also
> bspw. [mm]p=13\,[/mm] wählt!
>
> Gruß,
> Marcel
>
Zusammenfassend:
Du betrachtest die falsche Gruppe.
Du musst in [mm] $((\mathbb [/mm] Z/p [mm] \mathbb Z)^\times, \cdot)$ [/mm] arbeiten, nicht in [mm] $(\mathbb [/mm] Z/p [mm] \mathbb [/mm] Z,+)$
P.S. Ich verabscheuungswürdige die Schreibweise [mm] $R^\times$ [/mm] für die Einheitengruppe. Das System lässt mich in Matheumgebungen nur kein R^* schreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo sometree,
erstmal Danke für die Antwort! 
> Hallo Marcel,
>
> > Bzgl. des Diffie-Hellmann-Schlüsselaustausch Protokolls
> > wählen Max und Sebastian eine Prinzahl [mm]p \in \IP[/mm] und ein [mm]g \in \IN[/mm]
> > mit Ordnung [mm]p-1\,[/mm] modulo [mm]p\,.[/mm]
> >
> >
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > obige Vorgehensweise wird so in "Elementare und
> > algebraische
> > Zahlentheorie" von Müller-Stach und Piontkowski
> > beschrieben. Jetzt
> > bin ich irritiert:
> > Das bedeutet doch: Ist [mm]p \in \IP\,,[/mm] so betrachtet man [mm]g \in \IN[/mm]
> > so, dass [mm]o(g)=p-1 \mod p[/mm]
> > (d.h. [mm]o(g)\,[/mm] läßt den Rest
> > [mm]p-1\,[/mm] bei der Division [mm]o(g):p\,[/mm]), wobei
> > [mm]o(g)=|<\{g\}>|[/mm]
> Nein das gilt nicht,
was gilt nicht? Es gilt nicht, dass [mm] $o(g)\,$ [/mm] bei Division durch [mm] $p\,$ [/mm] den Rest $p-1$ lassen
soll? Was bedeutet denn dann, dass die Zahl [mm] $g\,$ [/mm] die Ordnung $p-1 [mm] \mod [/mm] p$ haben soll?
> die Schreibweise ist auch sehr mit
> Vorsicht zu genießen.
Welche Schreibweise meinst Du nun? Ich benutze die Schreibweisen, die
ich aus "Algebra" von Meyberg und Karpfinger kenne, also $o(g)=|<g>|$ mit
[mm] $:=<\{g\}>:=\bigcap_{...}...$
[/mm]
(Wobei ich unter dem [mm] $\bigcap$ [/mm] nun natürlich die entsprechenden multiplikativen Untergruppen
von [mm] $(\IZ/p\IZ)^\times$ [/mm] schreiben müsste...)
> Besser o(g)=p-1 in [mm](\mathbb Z/p \mathbb Z)^\times[/mm]
Du kannst hier übrigens kurz $\IZ$ schreiben statt der Latex-Schreibweise
$\mathbb{Z}$.
> > mit
> [mm]|<\{g\}>|=\left|\bigcap_{\substack{U \le \IZ/p\IZ\\\{g\} \subseteq U}}U\right|\,.[/mm]
>
> >
> > Existiert denn immer ein solches [mm]g \in \IN[/mm]? Das ist mir
> > unklar und das finde
> > ich auch nicht trivial.
> Trivial ist es nicht. Schau dir mal Satz 7.2 an (allerdings
> mag ich den dortigen Beweis nicht)
> Jede endliche Untergruppe der Einheitengruppe eines Int.
> rings ist zyklisch.
Ah, Danke! Du hast den Satz ja zitiert.
> > Beispielsweise habe ich mal [mm]p=13\,[/mm] betrachtet. Dann ist
> > [mm]\IZ/13\IZ=\{\overline{0},\;\ldots,\;\overline{12}\}\,.[/mm]
> >
> > Eigentlich brauche ich doch jetzt nur [mm]<\{\overline{g}\}>[/mm]
> > für [mm]g=0,\ldots,12[/mm]
> > zu betrachten, oder? Der Einfachheit/Faulheit wegen
> > schreibe ich mal nur
> > [mm][/mm] anstatt [mm]<\{\overline{g}\}>[/mm] etc. pp.:
> >
> > [mm]<0>=\{0\}\,.[/mm]
> > [mm]<1>=\{0,...,12\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > [mm]<2>=\{0,2,4,6,...,12,1,3,5,7,9,11\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > [mm]<3>=\{0,3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > [mm]<4>=\{0,4,8,12,3,7,11,2,6,10,1,5,9\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > [mm]<5>=\{0,5,10,2,7,12,4,9,1,6,11,3,8\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > [mm]<6>=\{0,6,12,5,11,4,10,3,9,2,8,1,7\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > [mm]<7>=\{0,7,1,8,2,9,3,10,4,11,5,12,6\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > [mm]<8>=\{0,8,3,11,6,1,9,4,12,7,2,10,5\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > [mm]<9>=\{0,9,5,1,10,6,2,11,7,3,12,8,4\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > [mm]<10>=\{0,10,7,4,1,11,8,5,2,12,9,6,3\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > [mm]<11>=\{0,11,9,7,5,3,1,12,10,8,6,4,2\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > [mm]<12>=\{0,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
>
>
> Das sind die additiven Untergruppen von [mm](\mathbb Z / 13 \mathbb Z, + )[/mm].
Okay, also die additiven Untergruppen, die von jeweils einem Element
erzeugt werden.
> Du suchst aber die multiplikativen Untergruppen von
> [mm]((\mathbb Z/13 \mathbb Z)^\times,\cdot)[/mm].
> So ist z.B.
> [mm]<3>=\{3,9,1\}[/mm]
Okay: [mm] $<3>=\{r_k:\;\;3^k \equiv r_k \mod 13:\;\;k \in \IN_0\}$ [/mm] könnte man schreiben. Wobei
ich hier strenggenommen vielleicht auch erstmal
[mm] $<3>=\{r_k:\;\;3^k \equiv r_k \mod 13:\;\;k \in \red{\IZ}\}$
[/mm]
schreiben müßte; das steht nämlich bzgl. eines Darstellungssatzes für
kommutative Gruppen in dem erwähnten Algebra-Buch. Warum man oben
speziell [mm] $\IZ$ [/mm] durch [mm] $\IN_0$ [/mm] ersetzen darf (falls das überhaupt generell
so stimmt), müßte ich mir mal überlegen...
> > Jetzt nehme ich doch mal stark an, dass ich hier
> irgendwo
> > einen Fehler gemacht
> > habe. Habe ich die von einem Element erzeugten
> > Untergruppen falsch
> > aufgestellt?
> > Ich dachte eigentlich, dass ich die so konstruieren
> kann:
> > [mm]=\{\overline{r_j}:\;\;k \cdot g \equiv r_j \mod p:\;\;k \in \IN_0\}\,,[/mm]
>
> >
> > wobei ich die [mm]\overline{r_j}[/mm] oben halt nur als [mm]r_j[/mm]
> > schreibe.
> >
> > Nun sehe ich aber oben keine Untergruppe von [mm]\IZ/13\IZ\,,[/mm]
> > deren Ordnung
> > bei Division durch 13 den Rest 12 ließe?
> >
> > Fazit: Wenn das im Buch Gesagte immer geht, dann gibt es
> > zwei Möglichkeiten:
> > 1. Meine obigen Untergruppen sind einfach, zumindest
> > teilweise, falsch,
> > insbesondere ist meine "Konstruktionsmethode" dann
> > schlichtweg falsch.
> >
> > oder
> >
> > 2. Ich verstehe die Aussage im Buch einfach falsch.
> >
> > P.S. Bitte nun keine anderen Charakterisierungen mit
> > Primitivwurzeln etc.
> > pp. bringen, ich will das Ganze mit den oben erwähnten
> > Definitionen
> > verstehen - insbesondere will ich das Beispiel
> verstehen,
> > wenn man also
> > bspw. [mm]p=13\,[/mm] wählt!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
> >
> Zusammenfassend:
> Du betrachtest die falsche Gruppe.
> Du musst in [mm]((\mathbb Z/p \mathbb Z)^\times, \cdot)[/mm]
> arbeiten, nicht in [mm](\mathbb Z/p \mathbb Z,+)[/mm]
Jaaa, Danke. Das habe ich oben jetzt dank Deines Hinweises bemerkt.
> P.S. Ich verabscheuungswürdige die Schreibweise [mm]R^\times[/mm]
> für die Einheitengruppe. Das System lässt mich in
> Matheumgebungen nur kein R^* schreiben.
Da kann ich Dir helfen :
[mm] $R^\*$ [/mm] kannst Du so schreiben:
$R^\*$
P.S. Was hast Du gegen die Notation [mm] $R^\times$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Hallo sometree,
>
> erstmal Danke für die Antwort!
>
> > Hallo Marcel,
> >
> > > Bzgl. des Diffie-Hellmann-Schlüsselaustausch Protokolls
> > > wählen Max und Sebastian eine Prinzahl [mm]p \in \IP[/mm] und ein [mm]g \in \IN[/mm]
> > > mit Ordnung [mm]p-1\,[/mm] modulo [mm]p\,.[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > obige Vorgehensweise wird so in "Elementare und
> > > algebraische
> > > Zahlentheorie" von Müller-Stach und Piontkowski
> > > beschrieben. Jetzt
> > > bin ich irritiert:
> > > Das bedeutet doch: Ist [mm]p \in \IP\,,[/mm] so betrachtet
> man [mm]g \in \IN[/mm]
> > > so, dass [mm]o(g)=p-1 \mod p[/mm]
> > > (d.h. [mm]o(g)\,[/mm] läßt den
> Rest
> > > [mm]p-1\,[/mm] bei der Division [mm]o(g):p\,[/mm]), wobei
> > > [mm]o(g)=|<\{g\}>|[/mm]
> > Nein das gilt nicht,
>
> was gilt nicht? Es gilt nicht, dass [mm]o(g)\,[/mm] bei Division
> durch [mm]p\,[/mm] den Rest [mm]p-1[/mm] lassen
> soll?
Die Ordnung eines Elements einer Gruppe ist eine natürliche Zahl keine Äquivalenzklasse im Restklassenring.
Es ist $o(g)=p-1$ wobei g ein Element der Gruppe [mm] $(\mathbb [/mm] Z/13 [mm] \mathbb Z)^\times$ [/mm] ist.
> Was bedeutet denn dann, dass die Zahl [mm]g\,[/mm] die
> Ordnung [mm]p-1 \mod p[/mm] haben soll?
imho bedeutet das gar nichts, es ist Technobabble.
Es ist ja noch nichtmal die zugrundeliegende Gruppe sauber angegeben.
> > die Schreibweise ist auch sehr mit
> > Vorsicht zu genießen.
>
> Welche Schreibweise meinst Du nun? Ich benutze die
> Schreibweisen, die
> ich aus "Algebra" von Meyberg und Karpfinger kenne, also
> [mm]o(g)=||[/mm] mit
> [mm]:=<\{g\}>:=\bigcap_{...}...[/mm]
> (Wobei ich unter dem [mm]\bigcap[/mm] nun natürlich die
> entsprechenden multiplikativen Untergruppen
> von [mm](\IZ/p\IZ)^\times[/mm] schreiben müsste...)
>
> > Besser o(g)=p-1 in [mm](\mathbb Z/p \mathbb Z)^\times[/mm]
>
> Du kannst hier übrigens kurz [mm]\IZ[/mm] schreiben
> statt der Latex-Schreibweise
> [mm]\mathbb{Z}[/mm].
>
> > > mit
> > [mm]|<\{g\}>|=\left|\bigcap_{\substack{U \le \IZ/p\IZ\\\{g\} \subseteq U}}U\right|\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Existiert denn immer ein solches [mm]g \in \IN[/mm]? Das ist mir
> > > unklar und das finde
> > > ich auch nicht trivial.
> > Trivial ist es nicht. Schau dir mal Satz 7.2 an (allerdings
> > mag ich den dortigen Beweis nicht)
> > Jede endliche Untergruppe der Einheitengruppe eines
> Int.
> > rings ist zyklisch.
>
> Ah, Danke! Du hast den Satz ja zitiert.
>
> > > Beispielsweise habe ich mal [mm]p=13\,[/mm] betrachtet. Dann ist
> > > [mm]\IZ/13\IZ=\{\overline{0},\;\ldots,\;\overline{12}\}\,.[/mm]
> > >
> > > Eigentlich brauche ich doch jetzt nur [mm]<\{\overline{g}\}>[/mm]
> > > für [mm]g=0,\ldots,12[/mm]
> > > zu betrachten, oder? Der Einfachheit/Faulheit wegen
> > > schreibe ich mal nur
> > > [mm][/mm] anstatt [mm]<\{\overline{g}\}>[/mm] etc. pp.:
> > >
> > > [mm]<0>=\{0\}\,.[/mm]
> > > [mm]<1>=\{0,...,12\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > [mm]<2>=\{0,2,4,6,...,12,1,3,5,7,9,11\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > [mm]<3>=\{0,3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > [mm]<4>=\{0,4,8,12,3,7,11,2,6,10,1,5,9\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > [mm]<5>=\{0,5,10,2,7,12,4,9,1,6,11,3,8\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > [mm]<6>=\{0,6,12,5,11,4,10,3,9,2,8,1,7\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > [mm]<7>=\{0,7,1,8,2,9,3,10,4,11,5,12,6\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > [mm]<8>=\{0,8,3,11,6,1,9,4,12,7,2,10,5\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > [mm]<9>=\{0,9,5,1,10,6,2,11,7,3,12,8,4\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > [mm]<10>=\{0,10,7,4,1,11,8,5,2,12,9,6,3\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > [mm]<11>=\{0,11,9,7,5,3,1,12,10,8,6,4,2\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > [mm]<12>=\{0,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> >
> >
> > Das sind die additiven Untergruppen von [mm](\mathbb Z / 13 \mathbb Z, + )[/mm].
>
> Okay, also die additiven Untergruppen, die von jeweils
> einem Element
> erzeugt werden.
Nein, wirklich alle Untergruppen. Die Gruppe ist zyklisch.
> > Du suchst aber die multiplikativen Untergruppen von
> > [mm]((\mathbb Z/13 \mathbb Z)^\times,\cdot)[/mm].
> > So ist z.B.
> > [mm]<3>=\{3,9,1\}[/mm]
>
> Okay: [mm]<3>=\{r_k:\;\;3^k \equiv r_k \mod 13:\;\;k \in \IN_0\}[/mm]
> könnte man schreiben. Wobei
> ich hier strenggenommen vielleicht auch erstmal
>
> [mm]<3>=\{r_k:\;\;3^k \equiv r_k \mod 13:\;\;k \in \red{\IZ}\}[/mm]
>
> schreiben müßte; das steht nämlich bzgl. eines
> Darstellungssatzes für
> kommutative Gruppen in dem erwähnten Algebra-Buch. Warum
> man oben
> speziell [mm]\IZ[/mm] durch [mm]\IN_0[/mm] ersetzen darf (falls das
> überhaupt generell
> so stimmt), müßte ich mir mal überlegen...
Das geht da die Ordnung von 3 in dieser Gruppe endlich ist.
> > > Jetzt nehme ich doch mal stark an, dass ich hier
> > irgendwo
> > > einen Fehler gemacht
> > > habe. Habe ich die von einem Element erzeugten
> > > Untergruppen falsch
> > > aufgestellt?
> > > Ich dachte eigentlich, dass ich die so konstruieren
> > kann:
> > > [mm]=\{\overline{r_j}:\;\;k \cdot g \equiv r_j \mod p:\;\;k \in \IN_0\}\,,[/mm]
>
> >
> > >
> > > wobei ich die [mm]\overline{r_j}[/mm] oben halt nur als [mm]r_j[/mm]
> > > schreibe.
> > >
> > > Nun sehe ich aber oben keine Untergruppe von [mm]\IZ/13\IZ\,,[/mm]
> > > deren Ordnung
> > > bei Division durch 13 den Rest 12 ließe?
> > >
> > > Fazit: Wenn das im Buch Gesagte immer geht, dann gibt es
> > > zwei Möglichkeiten:
> > > 1. Meine obigen Untergruppen sind einfach, zumindest
> > > teilweise, falsch,
> > > insbesondere ist meine "Konstruktionsmethode" dann
> > > schlichtweg falsch.
> > >
> > > oder
> > >
> > > 2. Ich verstehe die Aussage im Buch einfach falsch.
> > >
> > > P.S. Bitte nun keine anderen Charakterisierungen mit
> > > Primitivwurzeln etc.
> > > pp. bringen, ich will das Ganze mit den oben
> erwähnten
> > > Definitionen
> > > verstehen - insbesondere will ich das Beispiel
> > verstehen,
> > > wenn man also
> > > bspw. [mm]p=13\,[/mm] wählt!
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> > >
> > Zusammenfassend:
> > Du betrachtest die falsche Gruppe.
> > Du musst in [mm]((\mathbb Z/p \mathbb Z)^\times, \cdot)[/mm]
> > arbeiten, nicht in [mm](\mathbb Z/p \mathbb Z,+)[/mm]
>
> Jaaa, Danke. Das habe ich oben jetzt dank Deines Hinweises
> bemerkt.
>
> > P.S. Ich verabscheuungswürdige die Schreibweise [mm]R^\times[/mm]
> > für die Einheitengruppe. Das System lässt mich in
> > Matheumgebungen nur kein R^* schreiben.
>
> Da kann ich Dir helfen :
> [mm]R^\*[/mm] kannst Du so schreiben:
>
> [mm]R^\*[/mm]
>
> P.S. Was hast Du gegen die Notation [mm]R^\times[/mm]?
Es gibt Leute bei denen sieht [mm] $R^\times [/mm] $ stark nach [mm] $R^X$ [/mm] aus.
Hab da unerfreuliche Erfahrungen gemacht.
Ich find's auch nicht sonderlich schön, dass ich hier für standardmäßige LaTeX-Befehle Workarounds suchen muss.
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo sometree,
> > Hallo sometree,
> >
> > erstmal Danke für die Antwort!
> >
> > > Hallo Marcel,
> > >
> > > > Bzgl. des Diffie-Hellmann-Schlüsselaustausch Protokolls
> > > > wählen Max und Sebastian eine Prinzahl [mm]p \in \IP[/mm] und ein [mm]g \in \IN[/mm]
> > > > mit Ordnung [mm]p-1\,[/mm] modulo [mm]p\,.[/mm]
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > obige Vorgehensweise wird so in "Elementare und
> > > > algebraische
> > > > Zahlentheorie" von Müller-Stach und Piontkowski
> > > > beschrieben. Jetzt
> > > > bin ich irritiert:
> > > > Das bedeutet doch: Ist [mm]p \in \IP\,,[/mm] so betrachtet
> > man [mm]g \in \IN[/mm]
> > > > so, dass [mm]o(g)=p-1 \mod p[/mm]
> > > > (d.h. [mm]o(g)\,[/mm]
> läßt den
> > Rest
> > > > [mm]p-1\,[/mm] bei der Division [mm]o(g):p\,[/mm]), wobei
> > > > [mm]o(g)=|<\{g\}>|[/mm]
> > > Nein das gilt nicht,
> >
> > was gilt nicht? Es gilt nicht, dass [mm]o(g)\,[/mm] bei Division
> > durch [mm]p\,[/mm] den Rest [mm]p-1[/mm] lassen
> > soll?
>
>
> Die Ordnung eines Elements einer Gruppe ist eine
> natürliche Zahl keine Äquivalenzklasse im
> Restklassenring.
klar, aber die Ordnung eines Elements ist die Anzahl der Elemente der
Untergruppe, die diese erzeugt. Wenn man nicht nachdenkt könnte diese
ja in [mm] $\overline{p-1}$ [/mm] liegen (was hier aber nicht gehen kann; oder denke
ich da falsch?).
> Es ist [mm]o(g)=p-1[/mm] wobei g ein Element der Gruppe [mm](\mathbb Z/13 \mathbb Z)^\times[/mm]
> ist.
> > Was bedeutet denn dann, dass die Zahl [mm]g\,[/mm] die
> > Ordnung [mm]p-1 \mod p[/mm] haben soll?
> imho bedeutet das gar nichts, es ist Technobabble.
Anders gesagt: Man drückt das, was Du einfach sagst, unnötig kompliziert
aus. Es ist ja nicht falsch, denn $p-1 [mm] \in \overline{p-1}\,.$
[/mm]
> Es ist ja noch nichtmal die zugrundeliegende Gruppe sauber
> angegeben.
Daher kam auch meine Irritation!
> > > die Schreibweise ist auch sehr mit
> > > Vorsicht zu genießen.
> >
> > Welche Schreibweise meinst Du nun? Ich benutze die
> > Schreibweisen, die
> > ich aus "Algebra" von Meyberg und Karpfinger kenne, also
> > [mm]o(g)=||[/mm] mit
> > [mm]:=<\{g\}>:=\bigcap_{...}...[/mm]
> > (Wobei ich unter dem [mm]\bigcap[/mm] nun natürlich die
> > entsprechenden multiplikativen Untergruppen
> > von [mm](\IZ/p\IZ)^\times[/mm] schreiben müsste...)
> >
> > > Besser o(g)=p-1 in [mm](\mathbb Z/p \mathbb Z)^\times[/mm]
> >
> > Du kannst hier übrigens kurz [mm]\IZ[/mm] schreiben
> > statt der Latex-Schreibweise
> > [mm]\mathbb{Z}[/mm].
> >
> > > > mit
> > > [mm]|<\{g\}>|=\left|\bigcap_{\substack{U \le \IZ/p\IZ\\\{g\} \subseteq U}}U\right|\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Existiert denn immer ein solches [mm]g \in \IN[/mm]? Das ist mir
> > > > unklar und das finde
> > > > ich auch nicht trivial.
> > > Trivial ist es nicht. Schau dir mal Satz 7.2 an (allerdings
> > > mag ich den dortigen Beweis nicht)
> > > Jede endliche Untergruppe der Einheitengruppe eines
> > Int.
> > > rings ist zyklisch.
> >
> > Ah, Danke! Du hast den Satz ja zitiert.
> >
> > > > Beispielsweise habe ich mal [mm]p=13\,[/mm] betrachtet. Dann ist
> > > > [mm]\IZ/13\IZ=\{\overline{0},\;\ldots,\;\overline{12}\}\,.[/mm]
> > > >
> > > > Eigentlich brauche ich doch jetzt nur [mm]<\{\overline{g}\}>[/mm]
> > > > für [mm]g=0,\ldots,12[/mm]
> > > > zu betrachten, oder? Der Einfachheit/Faulheit
> wegen
> > > > schreibe ich mal nur
> > > > [mm][/mm] anstatt [mm]<\{\overline{g}\}>[/mm] etc. pp.:
> > > >
> > > > [mm]<0>=\{0\}\,.[/mm]
> > > > [mm]<1>=\{0,...,12\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > [mm]<2>=\{0,2,4,6,...,12,1,3,5,7,9,11\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > >
> [mm]<3>=\{0,3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > >
> [mm]<4>=\{0,4,8,12,3,7,11,2,6,10,1,5,9\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > >
> [mm]<5>=\{0,5,10,2,7,12,4,9,1,6,11,3,8\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > >
> [mm]<6>=\{0,6,12,5,11,4,10,3,9,2,8,1,7\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > >
> [mm]<7>=\{0,7,1,8,2,9,3,10,4,11,5,12,6\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > >
> [mm]<8>=\{0,8,3,11,6,1,9,4,12,7,2,10,5\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > >
> [mm]<9>=\{0,9,5,1,10,6,2,11,7,3,12,8,4\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > >
> [mm]<10>=\{0,10,7,4,1,11,8,5,2,12,9,6,3\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > >
> [mm]<11>=\{0,11,9,7,5,3,1,12,10,8,6,4,2\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > >
> [mm]<12>=\{0,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > >
> > >
> > > Das sind die additiven Untergruppen von [mm](\mathbb Z / 13 \mathbb Z, + )[/mm].
> >
> > Okay, also die additiven Untergruppen, die von jeweils
> > einem Element
> > erzeugt werden.
> Nein, wirklich alle Untergruppen. Die Gruppe ist zyklisch.
Danke, das macht Sinn. In zyklischen Gruppen kann man also so relativ
einfach alle Untergruppen hinschreiben; sehe ich das richtig?
> > > Du suchst aber die multiplikativen Untergruppen von
> > > [mm]((\mathbb Z/13 \mathbb Z)^\times,\cdot)[/mm].
> > > So ist
> z.B.
> > > [mm]<3>=\{3,9,1\}[/mm]
> >
> > Okay: [mm]<3>=\{r_k:\;\;3^k \equiv r_k \mod 13:\;\;k \in \IN_0\}[/mm]
> > könnte man schreiben. Wobei
> > ich hier strenggenommen vielleicht auch erstmal
> >
> > [mm]<3>=\{r_k:\;\;3^k \equiv r_k \mod 13:\;\;k \in \red{\IZ}\}[/mm]
>
> >
> > schreiben müßte; das steht nämlich bzgl. eines
> > Darstellungssatzes für
> > kommutative Gruppen in dem erwähnten Algebra-Buch.
> Warum
> > man oben
> > speziell [mm]\IZ[/mm] durch [mm]\IN_0[/mm] ersetzen darf (falls das
> > überhaupt generell
> > so stimmt), müßte ich mir mal überlegen...
> Das geht da die Ordnung von 3 in dieser Gruppe endlich
> ist.
> > > > Jetzt nehme ich doch mal stark an, dass ich hier
> > > irgendwo
> > > > einen Fehler gemacht
> > > > habe. Habe ich die von einem Element erzeugten
> > > > Untergruppen falsch
> > > > aufgestellt?
> > > > Ich dachte eigentlich, dass ich die so
> konstruieren
> > > kann:
> > > > [mm]=\{\overline{r_j}:\;\;k \cdot g \equiv r_j \mod p:\;\;k \in \IN_0\}\,,[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > wobei ich die [mm]\overline{r_j}[/mm] oben halt nur als [mm]r_j[/mm]
> > > > schreibe.
> > > >
> > > > Nun sehe ich aber oben keine Untergruppe von [mm]\IZ/13\IZ\,,[/mm]
> > > > deren Ordnung
> > > > bei Division durch 13 den Rest 12 ließe?
> > > >
> > > > Fazit: Wenn das im Buch Gesagte immer geht, dann gibt es
> > > > zwei Möglichkeiten:
> > > > 1. Meine obigen Untergruppen sind einfach,
> zumindest
> > > > teilweise, falsch,
> > > > insbesondere ist meine "Konstruktionsmethode"
> dann
> > > > schlichtweg falsch.
> > > >
> > > > oder
> > > >
> > > > 2. Ich verstehe die Aussage im Buch einfach falsch.
> > > >
> > > > P.S. Bitte nun keine anderen Charakterisierungen mit
> > > > Primitivwurzeln etc.
> > > > pp. bringen, ich will das Ganze mit den oben
> > erwähnten
> > > > Definitionen
> > > > verstehen - insbesondere will ich das Beispiel
> > > verstehen,
> > > > wenn man also
> > > > bspw. [mm]p=13\,[/mm] wählt!
> > > >
> > > > Gruß,
> > > > Marcel
> > > >
> > > Zusammenfassend:
> > > Du betrachtest die falsche Gruppe.
> > > Du musst in [mm]((\mathbb Z/p \mathbb Z)^\times, \cdot)[/mm]
> > > arbeiten, nicht in [mm](\mathbb Z/p \mathbb Z,+)[/mm]
> >
> > Jaaa, Danke. Das habe ich oben jetzt dank Deines Hinweises
> > bemerkt.
> >
> > > P.S. Ich verabscheuungswürdige die Schreibweise [mm]R^\times[/mm]
> > > für die Einheitengruppe. Das System lässt mich in
> > > Matheumgebungen nur kein R^* schreiben.
> >
> > Da kann ich Dir helfen :
> > [mm]R^\*[/mm] kannst Du so schreiben:
> >
> > [mm]R^\*[/mm]
> >
> > P.S. Was hast Du gegen die Notation [mm]R^\times[/mm]?
> Es gibt Leute bei denen sieht [mm]R^\times[/mm] stark nach [mm]R^X[/mm]
> aus.
Uh, okay. Wenn man also [mm] $R^\times$ [/mm] benutzt, könnte man dann halt auch einfach das Wort
"Einheitengruppe" dazuschreiben. Aber dann wäre die Symbolik [mm] $R^\times$ [/mm] auch ziemlich
unnötig...
> Hab da unerfreuliche Erfahrungen gemacht.
>
> Ich find's auch nicht sonderlich schön, dass ich hier für
> standardmäßige LaTeX-Befehle Workarounds suchen muss.
Du kannst gerne mal den Webmaster (Marc) anschreiben und drauf
ansprechen.
Gruß,
Marcel
|
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> Hallo sometree,
>
> > > Hallo sometree,
> > >
> > > erstmal Danke für die Antwort!
> > >
> > > > Hallo Marcel,
> > > >
> > > > > Bzgl. des Diffie-Hellmann-Schlüsselaustausch Protokolls
> > > > > wählen Max und Sebastian eine Prinzahl [mm]p \in \IP[/mm] und ein [mm]g \in \IN[/mm]
> > > > > mit Ordnung [mm]p-1\,[/mm] modulo [mm]p\,.[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > obige Vorgehensweise wird so in "Elementare und
> > > > > algebraische
> > > > > Zahlentheorie" von Müller-Stach und Piontkowski
> > > > > beschrieben. Jetzt
> > > > > bin ich irritiert:
> > > > > Das bedeutet doch: Ist [mm]p \in \IP\,,[/mm] so
> betrachtet
> > > man [mm]g \in \IN[/mm]
> > > > > so, dass [mm]o(g)=p-1 \mod p[/mm]
> > > > > (d.h. [mm]o(g)\,[/mm]
> > läßt den
> > > Rest
> > > > > [mm]p-1\,[/mm] bei der Division [mm]o(g):p\,[/mm]), wobei
> > > > > [mm]o(g)=|<\{g\}>|[/mm]
> > > > Nein das gilt nicht,
> > >
> > > was gilt nicht? Es gilt nicht, dass [mm]o(g)\,[/mm] bei Division
> > > durch [mm]p\,[/mm] den Rest [mm]p-1[/mm] lassen
> > > soll?
> >
> >
> > Die Ordnung eines Elements einer Gruppe ist eine
> > natürliche Zahl keine Äquivalenzklasse im
> > Restklassenring.
>
> klar, aber die Ordnung eines Elements ist die Anzahl der
> Elemente der
> Untergruppe, die diese erzeugt. Wenn man nicht nachdenkt
> könnte diese
> ja in [mm]\overline{p-1}[/mm] liegen (was hier aber nicht gehen
> kann; oder denke
> ich da falsch?).
>
> > Es ist [mm]o(g)=p-1[/mm] wobei g ein Element der Gruppe [mm](\mathbb Z/13 \mathbb Z)^\times[/mm]
> > ist.
> > > Was bedeutet denn dann, dass die Zahl [mm]g\,[/mm] die
> > > Ordnung [mm]p-1 \mod p[/mm] haben soll?
> > imho bedeutet das gar nichts, es ist Technobabble.
>
> Anders gesagt: Man drückt das, was Du einfach sagst,
> unnötig kompliziert
> aus. Es ist ja nicht falsch, denn [mm]p-1 \in \overline{p-1}\,.[/mm]
Es ist nicht falsch per se, aber unnötig kompliziert und die Realität verschleiernd.
> > Es ist ja noch nichtmal die zugrundeliegende Gruppe sauber
> > angegeben.
>
> Daher kam auch meine Irritation!
>
> > > > die Schreibweise ist auch sehr mit
> > > > Vorsicht zu genießen.
> > >
> > > Welche Schreibweise meinst Du nun? Ich benutze die
> > > Schreibweisen, die
> > > ich aus "Algebra" von Meyberg und Karpfinger kenne, also
> > > [mm]o(g)=||[/mm] mit
> > > [mm]:=<\{g\}>:=\bigcap_{...}...[/mm]
> > > (Wobei ich unter dem [mm]\bigcap[/mm] nun natürlich die
> > > entsprechenden multiplikativen Untergruppen
> > > von [mm](\IZ/p\IZ)^\times[/mm] schreiben müsste...)
> > >
> > > > Besser o(g)=p-1 in [mm](\mathbb Z/p \mathbb Z)^\times[/mm]
> >
> >
> > > Du kannst hier übrigens kurz [mm]\IZ[/mm] schreiben
> > > statt der Latex-Schreibweise
> > > [mm]\mathbb{Z}[/mm].
> > >
> > > > > mit
> > > > [mm]|<\{g\}>|=\left|\bigcap_{\substack{U \le \IZ/p\IZ\\\{g\} \subseteq U}}U\right|\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Existiert denn immer ein solches [mm]g \in \IN[/mm]? Das ist mir
> > > > > unklar und das finde
> > > > > ich auch nicht trivial.
> > > > Trivial ist es nicht. Schau dir mal Satz 7.2 an (allerdings
> > > > mag ich den dortigen Beweis nicht)
> > > > Jede endliche Untergruppe der Einheitengruppe
> eines
> > > Int.
> > > > rings ist zyklisch.
> > >
> > > Ah, Danke! Du hast den Satz ja zitiert.
> > >
> > > > > Beispielsweise habe ich mal [mm]p=13\,[/mm] betrachtet. Dann ist
> > > > > [mm]\IZ/13\IZ=\{\overline{0},\;\ldots,\;\overline{12}\}\,.[/mm]
> > > > >
> > > > > Eigentlich brauche ich doch jetzt nur [mm]<\{\overline{g}\}>[/mm]
> > > > > für [mm]g=0,\ldots,12[/mm]
> > > > > zu betrachten, oder? Der Einfachheit/Faulheit
> > wegen
> > > > > schreibe ich mal nur
> > > > > [mm][/mm] anstatt [mm]<\{\overline{g}\}>[/mm] etc. pp.:
> > > > >
> > > > > [mm]<0>=\{0\}\,.[/mm]
> > > > > [mm]<1>=\{0,...,12\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > >
> [mm]<2>=\{0,2,4,6,...,12,1,3,5,7,9,11\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > >
> > [mm]<3>=\{0,3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > >
> > [mm]<4>=\{0,4,8,12,3,7,11,2,6,10,1,5,9\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > >
> > [mm]<5>=\{0,5,10,2,7,12,4,9,1,6,11,3,8\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > >
> > [mm]<6>=\{0,6,12,5,11,4,10,3,9,2,8,1,7\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > >
> > [mm]<7>=\{0,7,1,8,2,9,3,10,4,11,5,12,6\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > >
> > [mm]<8>=\{0,8,3,11,6,1,9,4,12,7,2,10,5\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > >
> > [mm]<9>=\{0,9,5,1,10,6,2,11,7,3,12,8,4\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > >
> > [mm]<10>=\{0,10,7,4,1,11,8,5,2,12,9,6,3\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > >
> > [mm]<11>=\{0,11,9,7,5,3,1,12,10,8,6,4,2\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > > >
> > [mm]<12>=\{0,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1\}=\IZ/13\IZ\,.[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Das sind die additiven Untergruppen von [mm](\mathbb Z / 13 \mathbb Z, + )[/mm].
> > >
> > > Okay, also die additiven Untergruppen, die von jeweils
> > > einem Element
> > > erzeugt werden.
> > Nein, wirklich alle Untergruppen. Die Gruppe ist
> zyklisch.
>
> Danke, das macht Sinn. In zyklischen Gruppen kann man also
> so relativ
> einfach alle Untergruppen hinschreiben; sehe ich das
> richtig?
Wenn es nur um Untergruppen geht, geht's noch einfacher. Du schreibst ja einige mehrfach hin.
> > > > Du suchst aber die multiplikativen Untergruppen von
> > > > [mm]((\mathbb Z/13 \mathbb Z)^\times,\cdot)[/mm].
> > > > So
> ist
> > z.B.
> > > > [mm]<3>=\{3,9,1\}[/mm]
> > >
> > > Okay: [mm]<3>=\{r_k:\;\;3^k \equiv r_k \mod 13:\;\;k \in \IN_0\}[/mm]
> > > könnte man schreiben. Wobei
> > > ich hier strenggenommen vielleicht auch erstmal
> > >
> > > [mm]<3>=\{r_k:\;\;3^k \equiv r_k \mod 13:\;\;k \in \red{\IZ}\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > schreiben müßte; das steht nämlich bzgl. eines
> > > Darstellungssatzes für
> > > kommutative Gruppen in dem erwähnten Algebra-Buch.
> > Warum
> > > man oben
> > > speziell [mm]\IZ[/mm] durch [mm]\IN_0[/mm] ersetzen darf (falls das
> > > überhaupt generell
> > > so stimmt), müßte ich mir mal überlegen...
> > Das geht da die Ordnung von 3 in dieser Gruppe endlich
> > ist.
> > > > > Jetzt nehme ich doch mal stark an, dass ich hier
> > > > irgendwo
> > > > > einen Fehler gemacht
> > > > > habe. Habe ich die von einem Element erzeugten
> > > > > Untergruppen falsch
> > > > > aufgestellt?
> > > > > Ich dachte eigentlich, dass ich die so
> > konstruieren
> > > > kann:
> > > > > [mm]=\{\overline{r_j}:\;\;k \cdot g \equiv r_j \mod p:\;\;k \in \IN_0\}\,,[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > wobei ich die [mm]\overline{r_j}[/mm] oben halt nur als [mm]r_j[/mm]
> > > > > schreibe.
> > > > >
> > > > > Nun sehe ich aber oben keine Untergruppe von [mm]\IZ/13\IZ\,,[/mm]
> > > > > deren Ordnung
> > > > > bei Division durch 13 den Rest 12 ließe?
> > > > >
> > > > > Fazit: Wenn das im Buch Gesagte immer geht, dann gibt es
> > > > > zwei Möglichkeiten:
> > > > > 1. Meine obigen Untergruppen sind einfach,
> > zumindest
> > > > > teilweise, falsch,
> > > > > insbesondere ist meine "Konstruktionsmethode"
> > dann
> > > > > schlichtweg falsch.
> > > > >
> > > > > oder
> > > > >
> > > > > 2. Ich verstehe die Aussage im Buch einfach falsch.
> > > > >
> > > > > P.S. Bitte nun keine anderen Charakterisierungen mit
> > > > > Primitivwurzeln etc.
> > > > > pp. bringen, ich will das Ganze mit den oben
> > > erwähnten
> > > > > Definitionen
> > > > > verstehen - insbesondere will ich das Beispiel
> > > > verstehen,
> > > > > wenn man also
> > > > > bspw. [mm]p=13\,[/mm] wählt!
> > > > >
> > > > > Gruß,
> > > > > Marcel
> > > > >
> > > > Zusammenfassend:
> > > > Du betrachtest die falsche Gruppe.
> > > > Du musst in [mm]((\mathbb Z/p \mathbb Z)^\times, \cdot)[/mm]
> > > > arbeiten, nicht in [mm](\mathbb Z/p \mathbb Z,+)[/mm]
> > >
> > > Jaaa, Danke. Das habe ich oben jetzt dank Deines Hinweises
> > > bemerkt.
> > >
> > > > P.S. Ich verabscheuungswürdige die Schreibweise [mm]R^\times[/mm]
> > > > für die Einheitengruppe. Das System lässt mich in
> > > > Matheumgebungen nur kein R^* schreiben.
> > >
> > > Da kann ich Dir helfen :
> > > [mm]R^\*[/mm] kannst Du so schreiben:
> > >
> > > [mm]R^\*[/mm]
> > >
> > > P.S. Was hast Du gegen die Notation [mm]R^\times[/mm]?
> > Es gibt Leute bei denen sieht [mm]R^\times[/mm] stark nach [mm]R^X[/mm]
> > aus.
>
> Uh, okay. Wenn man also [mm]R^\times[/mm] benutzt, könnte man dann
> halt auch einfach das Wort
> "Einheitengruppe" dazuschreiben. Aber dann wäre die
> Symbolik [mm]R^\times[/mm] auch ziemlich
> unnötig...
>
> > Hab da unerfreuliche Erfahrungen gemacht.
> >
> > Ich find's auch nicht sonderlich schön, dass ich hier für
> > standardmäßige LaTeX-Befehle Workarounds suchen muss.
>
> Du kannst gerne mal den Webmaster (Marc) anschreiben und
> drauf
> ansprechen.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Sa 29.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo sometree,
> > > > Was bedeutet denn dann, dass die Zahl [mm]g\,[/mm] die
> > > > Ordnung [mm]p-1 \mod p[/mm] haben soll?
> > > imho bedeutet das gar nichts, es ist Technobabble.
> >
> > Anders gesagt: Man drückt das, was Du einfach sagst,
> > unnötig kompliziert
> > aus. Es ist ja nicht falsch, denn [mm]p-1 \in \overline{p-1}\,.[/mm]
>
> Es ist nicht falsch per se, aber unnötig kompliziert und
> die Realität verschleiernd.
ja, das meinte ich.
> > > > Okay, also die additiven Untergruppen, die von jeweils
> > > > einem Element
> > > > erzeugt werden.
> > > Nein, wirklich alle Untergruppen. Die Gruppe ist
> > zyklisch.
> >
> > Danke, das macht Sinn. In zyklischen Gruppen kann man also
> > so relativ
> > einfach alle Untergruppen hinschreiben; sehe ich das
> > richtig?
> Wenn es nur um Untergruppen geht, geht's noch einfacher.
> Du schreibst ja einige mehrfach hin.
Ja, klar. Wenn man - während man die Untergruppen "erzeugt" - ein bisschen
auf bereits hingeschriebene Untergruppen guckt, sieht man hier ja, wann
zwei von einem Element erzeugte Untergruppen gleich sind und kann sich
Schreibarbeit sparen. Wäre sicher insbesondere interessant, wenn man
sowas in einen Algorithmus verpacken würde. Und da helfen sicher auch
so Sachen wie der Index bzw. der Satz von Lagrange bzw. eine Verallgemeinerung
davon.
Vielen Dank nochmal für Deine Hinweise!!
Gruß,
Marcel
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