Diffgl.-Problem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien Konstanten [mm] \beta [/mm] > 1, [mm] \gamma [/mm] > 1 sowie t [mm] \in [/mm] (0, 1) gegeben. Gesucht ist eine bijektive Funktion h: (0,1) [mm] \to [/mm] (0,1), die folgende Gleichung erfüllt:
$h'(p) [1 - [mm] h(p)]^{\beta - 1} [/mm] = (1 - [mm] p)^{\beta - 1} [/mm] (1 - [mm] tp)^{-\gamma}$.
[/mm]
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Hallo zusammen,
dies ist ein reales Problem, also keine Hausaufgabe oder ähnliches. Ich wende mich
an euch, weil ich leider keine Ahnung von Differentialgleichungen habe, und gerne eine Einordnung des Problems hätte. [Hintergund ist, dass ich eine Beta-verteilte Zufallsvariable so transformieren möchte (bzw. wissen möchte, ob das möglich ist) dass die transformierte ZV eine bestimmte Dichtefunktion hat.]
Gibt es eine Lösung zu dieser Gleichung? Kann man das Problem irgendwie einordnen,
z.B. gewöhnliche Diffgleichung 2. Ordnung oder so...?
vielen Dank im Voraus,
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Do 28.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Trennung der Variablen führt hier wirklich zum Ziel.
Nehmen wir noch zusätzlich [mm]h(\tau)=\xi[/mm] an, so bleibt zu lösen:
[mm]\integral_{\xi}^{h(p)}{(1 - x)^{\beta - 1} dx} = \integral_{\tau}^p{(1 - s)^{\beta - 1}(1 - ts)^{- \gamma} ds}[/mm].
Es ist [mm]\integral_{\xi}^{h(p)}{(1 - x)^{\beta - 1} dx} = \frac{(1 - \xi)^{\beta} - (1 - h(p))^{\beta}}{\beta}[/mm] und [mm]\integral_{\tau}^p{(1 - s)^{\beta - 1}(1 - ts)^{- \gamma} ds} = (1 - t)^{\beta - \gamma}(- t)^{-\beta}(Beta(\frac{-1+pt}{-1+t},1-\gamma,\beta)-Beta(\frac{-1+t \tau}{-1+t},1-\gamma,\beta))[/mm], wobei ich mir diese Ergebnisse nur von Mathematica hab geben lassen. Das "Beta" steht für die Euler'sche Betafunktion.
Wenn man das umstellt kommt man also auf: [mm]h(p)=1-\sqrt[\beta]{(1-\xi)^{\beta}-\beta (1-t)^{\beta-\gamma}(- t)^{-\beta}(Beta(\frac{-1+pt}{-1+t},1-\gamma,\beta)-Beta(\frac{-1+t \tau}{-1+t},1-\gamma,\beta))}[/mm].
Ich hab mit mal diese Funktion für [mm]\tau = 0.5, \xi = 0.5, \beta = 2, \gamma = 3 und t = 0.75[/mm] zeichnen lassen. Es sah schon recht gut, also sie war anscheinend bijektiv (soweit das mein Auge gesehen hat) und streng monoton steigend. Nur die Grenzen haben noch nicht so gepasst, also die bildete nicht von (0,1) nach (0,1) ab, sondern ein bissl drüber/drunter. Da in deiner Aufgabenstellung die Anfangswerte [mm] \tau [/mm] und [mm] \xi [/mm] nicht gegeben sind, hat man mit diesen beiden Variablen, denk ich mal, noch genügend Spielraum, um die Grenzen einhalten zu können.
Ausserdem würde ich an deiner Stelle auch nochmal nachrechnen, ob diese Funktion wirklich die Differentialgleichung löst, denn ich kann mich ja auch vertippt haben beim Eingeben des Ganzen ins Mathematica.
mfg, Der Alex
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Hi Alex,
super, vielen vielen Dank schon mal! Gut dass ich mich noch an dieses Forum erinnert habe, nachdem ich hier lange nicht mehr war -- immer super-schnelle kompetente Antworten.
Noch eine kleine Nachfrage: Das "Beta" ist wohl die ![[]](/images/popup.gif) unvollständige Beta-Funktion, weil sie drei Argumente hat?
mfg,
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Do 28.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hi Alex,
>
> super, vielen vielen Dank schon mal! Gut dass ich mich noch
> an dieses Forum erinnert habe, nachdem ich hier lange nicht
> mehr war -- immer super-schnelle kompetente Antworten.
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> Noch eine kleine Nachfrage: Das "Beta" ist wohl die
> unvollständige Beta-Funktion,
> weil sie drei Argumente hat?
>
> mfg,
> Daniel
Jepp.
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Hi Alex,
Ich hab das jetzt nochmal nachvollzogen, und vllt. gibt es doch ein Problem. Da Mathematica den Wertebereich der Variablen nicht kennt, hat es zwar schön durch Substitution
$ [mm] \integral_{\tau}^p{(1 - s)^{\beta - 1}(1 - ts)^{- \gamma} ds} [/mm] = (1 - [mm] t)^{\beta - \gamma}(- t)^{-\beta} \integral_{\frac{\tau t - 1}{t-1}}^{\frac{pt-1}{t-1}} (1-u)^{\beta - 1} u^{1 - \gamma - 1} [/mm] du $ umgeformt. Das ist OK.
Aber [mm] $\gamma [/mm] > 1$, sodass $1- [mm] \gamma [/mm] < 0$ nicht als Parameter der Betafunktion verwendet werden kann, oder? Auch die Integrationsgrenzen sind wegen $0 < [mm] \tau, [/mm] p, t < 1$ negativ, was nicht zur (unvollständigen) Beta-Funktion passt.
Komisch ist nur: Wie konntest du dann die Funktion plotten?
Vllt. kann man das Integral doch noch in eine wirkliche "Beta-Form" bringen?
mfg,
Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hi Alex,
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> Ich hab das jetzt nochmal nachvollzogen, und vllt. gibt es
> doch ein Problem. Da Mathematica den Wertebereich der
> Variablen nicht kennt, hat es zwar schön durch
> Substitution
> [mm]\integral_{\tau}^p{(1 - s)^{\beta - 1}(1 - ts)^{- \gamma} ds} = (1 - t)^{\beta - \gamma}(- t)^{-\beta} \integral_{\frac{\tau t - 1}{t-1}}^{\frac{pt-1}{t-1}} (1-u)^{\beta - 1} u^{1 - \gamma - 1} du[/mm]
> umgeformt. Das ist OK.
>
> Aber [mm]\gamma > 1[/mm], sodass [mm]1- \gamma < 0[/mm] nicht als Parameter
> der Betafunktion verwendet werden kann, oder? Auch die
> Integrationsgrenzen sind wegen [mm]0 < \tau, p, t < 1[/mm] negativ,
> was nicht zur (unvollständigen) Beta-Funktion passt.
>
> Komisch ist nur: Wie konntest du dann die Funktion plotten?
> Vllt. kann man das Integral doch noch in eine wirkliche
> "Beta-Form" bringen?
>
> mfg,
> Daniel
Also ehrlich gesagt, ich hab erstens keine große Ahnung davon (hab noch keine Stochastik VL gehört, kann also nix mit Betafunktion anfangen) und zweitens hab ich keine große Lust dieses monströse Integral per Hand nachzurechnen.
Aber Mathematica achtet auf jeden Fall auf die Grenzen und Wertebereiche (sonst wär's ja schon fast nutzlos).
Ich kann dir ja einfach mal den Output, den Mathematica fabriziert hat, posten:
Integrate[(1 - s)^(beta - 1) (1 - t*s)^(-gamma), {s, tau, p}, Assumptions -> beta > 1 && gamma > 1 && t > 0 && t < 1 && s :elem: Reals && tau > 0 && tau < 1 && p > 0 && p < 1]
If[p != tau, (1 - t)^(beta - gamma) (-t)^-beta (Beta[(-1 + p t)/(-1 + t), 1 - gamma, beta] - Beta[(-1 + t tau)/(-1 + t), 1 - gamma, beta]), Integrate[(1 - s)^(-1 + beta) (1 - s t)^-gamma, {s, tau, p}, Assumptions -> s :elem: Reals && 0 < tau < 1 && 0 < t < 1 && gamma > 1 && beta > 1 && p == tau]]
Für p == tau hat Mathematica keine Lösung gefunden, also schreibt es das Integral einfach nochmal hin (das macht es immer, wenn es nix findet).
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Ah super, das Mathematica so gut ist. Vielen Dank nochmal. Mit noch einer Substitution kommt man wohl auf "normale" Betafunktionen.
mfg
Daniel
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