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| Aufgabe | Untersuchen Sie f(x) = [mm] e^x [/mm] für x<0
x+1 für x>=0
auf Differenzierbarkeit an der Stelle x = 0.
Ergänzung: e = eulersche Zahl |
Hallo, ich hab momentan garkeine Ahnung ob meine Lösung richtig ist:
Ich habe folgendermaßen gerechnet:
lim [mm] \bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}
[/mm]
h->0
lim [mm] \bruch{(e^x0+h)-e^x0}{h}
[/mm]
h->0
= 0
lim [mm] \bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}
[/mm]
h->0
lim [mm] \bruch{(x0+1)+h)-(x0+1)}{h}
[/mm]
h->0
= 0
Folglich ist die Funktion an der Stelle x = 0 differenzierbar, oder?
Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Di 19.01.2010 | | Autor: | nooschi |
> Untersuchen Sie f(x) = [mm]e^x[/mm] für x<0
> x+1 für x>=0
>
> auf Differenzierbarkeit an der Stelle x = 0.
>
> Ergänzung: e = eulersche Zahl
> Hallo, ich hab momentan garkeine Ahnung ob meine Lösung
> richtig ist:
>
> Ich habe folgendermaßen gerechnet:
>
> lim [mm]\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}[/mm]
> h->0
> lim [mm]\bruch{(e^x0+h)-e^x0}{h}[/mm]
> h->0
>
> = 0
das scheint mir falsch zu sein.
[mm] \limes_{h\to 0-0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\limes_{h\to 0-0}\bruch{e^h-e^0}{h}=\limes_{h\to 0-0}\bruch{e^h-1}{h}=1
[/mm]
das letzte Gleichzeichen muss man noch zeigen, wir haben das in der VL einmal bewiesen, war aber, wenn ich mich recht erinnere etwas unschön. Falls ihr das noch nicht bewiesen habt, musst du das am besten mit Umformungen, ausgehend von dem: [mm] |\bruch{e^h-1}{h}-1|=|\bruch{\summe_{i=1}^{n}\bruch{h^i}{i!}-1}{h}-1|=... [/mm] machen. (soll dann am Schluss [mm] \le [/mm] 0 werden, das < kann wegen den Betragsstrichen ausgeschlossen werden, also gilt = 0)
>
>
> lim [mm]\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}[/mm]
> h->0
>
> lim [mm]\bruch{(x0+1)+h)-(x0+1)}{h}[/mm]
> h->0
>
> = 0
das ist dementsprechend auch falsch.
[mm] \limes_{h\to 0+0}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}=\limes_{h\to 0+0}\bruch{f(h)-f(0)}{h}=\limes_{h\to 0+0}\bruch{h+1-(0+1)}{h}=\limes_{h\to 0+0}\bruch{h}{h}=1
[/mm]
>
> Folglich ist die Funktion an der Stelle x = 0
> differenzierbar, oder?
>
> Vielen Dank im Voraus.
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Ok danke, das hat mir auf jeden Fall weitergeholfen.
mfg
Matze
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