Differenzierbarkeit überprüfen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe einige Frage zur Differenzierbarkeit.
1.Wie überprüfe/beweise ich die Differenzierbarkeit einer Funktion?
2.Was muss ich beachten, wenn in der Funktion Betragsstriche vorkommen? Unterscheidet sich das Überprüfen, wenn Betragsstriche vorkommen?
Und wenn ja, was ändert sich?
3.Gleiche Fragen wie bei 2. bloß anstatt Betragsstriche frag ich mich wie man bei Abschnittsweise definierten Funktionen vorgeht.
4.Ist Stetigkeit an einem Punkt eine hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit an diesem Punkt?
Für mich würde das Sinn machen, da die 1.Ableitung die Steigung/Tangente der Funktion an diesem Punkt darstellen würde und die müsste bei Stetigkeit existieren.
Also ich weiß eigentlich, dass es anscheinend keine hinreichende Bedingung ist, da ich mich an eine Übungsaufgabe erinnere, in der ich zeigen sollte, dass diese Funktion stetig und nicht differenzierbar an einem bestimmten Punkt [mm] x_0 [/mm] ist.
Aber wie gesagt, ich versteh nicht warum es nicht gehen sollte.
Mit freundlichen Grüßen
Ulquiorra
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> Hallo,
> ich habe einige Frage zur Differenzierbarkeit.
Hallo,
Deine Fragen sind ohne Beispiele gestellt.
Die Antworten können so nur sehr allgemein ausfallen.
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> 1.Wie überprüfe/beweise ich die Differenzierbarkeit einer
> Funktion?
Wenn man sieht, daß eine Funktion durch Addition, Multiplikation, Division, Verkettung aus differenzierbaren Funktionen hervorgegangen ist, ist sie differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich. Man kann sich darauf berufen und muß nichts zeigen.
Ansonsten zeigt man die Differenzierbarkeit mit dem limes des Differenzenquotienten,
auch Stellen, an denen die Differenzierbarkeit fraglich ist, untersucht man so.
Funktionen, die nicht stetig sind, sind nicht differenzierbar.
Unstetigkeitsstellen sind stets Stellen, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist.
Nicht differenzierbare Funktionen erkennst Du daran, daß der Graph nicht geschmeidig ist, sondern Knicke hat,
die Stellen, an denen die Funktion nicht differenzierbr ist, sind also die Knickstellen.
>
> 2.Was muss ich beachten, wenn in der Funktion
> Betragsstriche vorkommen? Unterscheidet sich das
> Überprüfen, wenn Betragsstriche vorkommen?
> Und wenn ja, was ändert sich?
Die Funktion b(x)=|x| ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar.
Deshalb sind alle Funktionen, in denen Betragstriche vorkommen, einer genaueren Betrachtung zu unterziehen.
An den Stellen, an denen das, was in den Betragstrichen steht, =0 wird, ist die Differenzierbarkeit zu prüfen.
Gefahren birgt auch die Wurzelfunktion, welche an der Stelle x=0 nicht diffbar ist.
Wenn Wurzeln vorkommen, muß man also auch die Stellen, an denen die Funktion unter der Wurzel =0 wird, prüfen.
>
> 3.Gleiche Fragen wie bei 2. bloß anstatt Betragsstriche
> frag ich mich wie man bei Abschnittsweise definierten
> Funktionen vorgeht.
Bei abschnittweise definierten Funktionen sind immer die Nahtstellen, also die Stellen an denen die Funktionen zusammengesetzt werden, kritisch.
Prüfe hier die Stetigkeit, und wenn sie stetig sind, die Differenzierbarkeit.
>
> 4.Ist Stetigkeit an einem Punkt eine hinreichende Bedingung
> für Differenzierbarkeit an diesem Punkt?
Nein.
Schau die Betragsfunktion an. Sie ist stetig, aber an der Stelle x=0 nicht differenzierbar.
>
> Für mich würde das Sinn machen, da die 1.Ableitung die
> Steigung/Tangente der Funktion an diesem Punkt darstellen
> würde und die müsste bei Stetigkeit existieren.
Nein. An der Spitze der Betragsfunktion weiß man doch gar nicht, wie man die Tangente anlegen sollte.
Steigung 0? oder 1? Oder -1? oder vielleicht lieber etwas dazwischen? Vllt. -0,5 oder 0,789?
LG Angela
> Also ich weiß eigentlich, dass es anscheinend keine
> hinreichende Bedingung ist, da ich mich an eine
> Übungsaufgabe erinnere, in der ich zeigen sollte, dass
> diese Funktion stetig und nicht differenzierbar an einem
> bestimmten Punkt [mm]x_0[/mm] ist.
> Aber wie gesagt, ich versteh nicht warum es nicht gehen
> sollte.
>
> Mit freundlichen Grüßen
> Ulquiorra
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> Wenn man sieht, daß eine Funktion durch Addition,
> Multiplikation, Division, Verkettung aus differenzierbaren
> Funktionen hervorgegangen ist, ist sie differenzierbar auf
> ihrem Definitionsbereich. Man kann sich darauf berufen und
> muß nichts zeigen.
Kann ich z.B. bei der Funktion [mm] e^{|x|} [/mm] damit argumentieren, dass sie eine verkettete Funktion ist, einerseits aus einer differenzierbaren Funktion f(x)= [mm] e^x [/mm] und einer nicht differenzierbaren g(x)= |x| und somit nicht differenzierbar ist?
Und wenn ich das nicht daraus schließen kann, müsste ich ja mit dem Differenzialquotienten vorgehen, welches dann so aussehen müsste:
Nun muss ich mir erst Gedanken machen wo die Knickstelle ist (hab geschummelt indem ich mir die Funktion plotten lassen habe), welches 0 wäre..
Und damit dann:
[mm] f(0)=\limes_{h\rightarrow0^+} \bruch{e^{|0 +h|} - e^{|0|}}{h} [/mm] = [mm] \bruch{0}{h} \to +\infty
[/mm]
und bei
[mm] f(0)=\limes_{h\rightarrow0^-} \bruch{e^{|0 +h|} - e^{|0|}}{h} [/mm] = [mm] \bruch{0}{h} \to -\infty [/mm]
, aber ich bemerk gerade eigentlich wäre ja der Zähler auch negativ, da [mm] e^{|0 +h|} [/mm] in dem Fall kleiner ist als [mm] e^{|0|} [/mm] und somit die Differenz negativ ist. Dann wäre das auch [mm] +\infty [/mm] und somit gleich der Ableitung von "rechts" ...
Irgendwie scheint mich das mehr zu verwirren als es glaube ich sollte. Sorry ":-(
Mit freundlichen Grüßen
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> > Wenn man sieht, daß eine Funktion durch Addition,
> > Multiplikation, Division, Verkettung aus differenzierbaren
> > Funktionen hervorgegangen ist, ist sie differenzierbar auf
> > ihrem Definitionsbereich. Man kann sich darauf berufen und
> > muß nichts zeigen.
>
> Kann ich z.B. bei der Funktion [mm]e^{|x|}[/mm] damit argumentieren,
> dass sie eine verkettete Funktion ist, einerseits aus einer
> differenzierbaren Funktion f(x)= [mm]e^x[/mm] und einer nicht
> differenzierbaren g(x)= |x| und somit nicht
> differenzierbar ist?
Hallo,
nein, das geht nicht.
(Z.B. ist [mm] g(x):=x^2*|x| [/mm] differenzierbar).
Betrachten wir Deine Funktion [mm] f(x)=e^{|x|}:
[/mm]
sie ist eigentlich eine abschnittweise definierte Funktion,
es ist [mm] f(x):=\begin{cases} e^x, & \mbox{für } x\ge 0 \\ e^{-x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
Außerhalb der Stelle x=0 können wir die Funktion problemlos ableiten:
[mm] f'(x)=\begin{cases} e^x, & \mbox{für } x> 0\\? ,\mbox{für } x= 0 \\ -e^{-x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}.
[/mm]
An der Stelle 0 ist f differenzierbar,
wenn hier der limes des Differenzenquotienten existiert,
d.h. es müssen hier die Grenzwerte der Ableitungen von links und von rechts übereinstimmen.
Es ist [mm] \lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^+}e^x=1,
[/mm]
es ist [mm] \lim_{x\to 0^-}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}(-e^x)=-1.
[/mm]
Also: nicht diffbar an der Stelle x=0,
somit ist die Funktion nicht differenzierbar.
> Und wenn ich das nicht daraus schließen kann, müsste ich
> ja mit dem Differenzialquotienten vorgehen, welches dann so
> aussehen müsste:
>
> Nun muss ich mir erst Gedanken machen wo die Knickstelle
> ist (hab geschummelt indem ich mir die Funktion plotten
> lassen habe),
Wenn Du weißt, daß die gefährliche Stelle bei |x| die Stelle x=0 ist, brauchst Du nicht zu schummeln. Auch bei der zusammengesetzten Funktion lauert dann die Gefahr bei x=0.
(Plotten finde ich trotzdem gut - dann weiß man schonmal, was man rusbekommen möchte.)
> welches 0 wäre..
> Und damit dann:
>
> [mm]f(0)=\limes_{h\rightarrow0^+} \bruch{e^{|0 +h|} - e^{|0|}}{h}[/mm]
> = [mm]\bruch{0}{h} \to +\infty[/mm]
Nein, es ist doch [mm] \limes_{h\rightarrow0^+} \bruch{e^{|0 +h|} - e^{|0|}}{h}=\limes_{h\rightarrow0^+} \bruch{e^h-1}{h}= [/mm] ???
Wenn man sowas schreiben möchte wie Du, dann hätte man hier [mm] \bruch{0}{0},
[/mm]
was einen ratlos dreinschauen läßt.
Na, ich mach's mal naßforsch mit l'Hospital und bekomme [mm] ...=\limes_{h\rightarrow0^+} \bruch{e^h}{1}=1,
[/mm]
und auf dieselbe Weise
[mm] \limes_{h\rightarrow0^-} \bruch{e^{|0 +h|} - e^{|0|}}{h}=\limes_{h\rightarrow0^-} \bruch{e^{|h|} - e^{|0|}}{h}=\limes_{h\rightarrow0^-} \bruch{e^{-h} - 1}{h}=\limes_{h\rightarrow0^-} \bruch{-e^{-h}}{1}=-1.
[/mm]
Aber wenn Du von rechts und links eine schöne Ableitung hast, brauchst Du Dich hiermit ja gar nicht zu plagen.
LG Angela
>
> und bei
> [mm]f(0)=\limes_{h\rightarrow0^-} \bruch{e^{|0 +h|} - e^{|0|}}{h}[/mm]
> = [mm]\bruch{0}{h} \to -\infty[/mm]
> , aber ich bemerk gerade eigentlich wäre ja der Zähler
> auch negativ, da [mm]e^{|0 +h|}[/mm] in dem Fall kleiner ist als
> [mm]e^{|0|}[/mm] und somit die Differenz negativ ist. Dann wäre das
> auch [mm]+\infty[/mm] und somit gleich der Ableitung von "rechts"
> ...
>
> Irgendwie scheint mich das mehr zu verwirren als es glaube
> ich sollte. Sorry ":-(
>
> Mit freundlichen Grüßen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Do 05.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > Wenn man sieht, daß eine Funktion durch Addition,
> > > Multiplikation, Division, Verkettung aus differenzierbaren
> > > Funktionen hervorgegangen ist, ist sie differenzierbar auf
> > > ihrem Definitionsbereich. Man kann sich darauf berufen und
> > > muß nichts zeigen.
> >
> > Kann ich z.B. bei der Funktion [mm]e^{|x|}[/mm] damit argumentieren,
> > dass sie eine verkettete Funktion ist, einerseits aus einer
> > differenzierbaren Funktion f(x)= [mm]e^x[/mm] und einer nicht
> > differenzierbaren g(x)= |x| und somit nicht
> > differenzierbar ist?
>
> Hallo,
>
> nein, das geht nicht.
> (Z.B. ist [mm]g(x):=x^2*|x|[/mm] differenzierbar).
>
> Betrachten wir Deine Funktion [mm]f(x)=e^{|x|}:[/mm]
> sie ist eigentlich eine abschnittweise definierte
> Funktion,
>
> es ist [mm]f(x):=\begin{cases} e^x, & \mbox{für } x\ge 0 \\ e^{-x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
>
> Außerhalb der Stelle x=0 können wir die Funktion
> problemlos ableiten:
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} e^x, & \mbox{für } x> 0\\? ,\mbox{für } x= 0 \\ -e^{-x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}.[/mm]
>
> An der Stelle 0 ist f differenzierbar,
> wenn hier der limes des Differenzenquotienten existiert,
> d.h. es müssen hier die Grenzwerte der Ableitungen von
> links und von rechts übereinstimmen.
>
> Es ist [mm]\lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^+}e^x=1,[/mm]
> es ist
> [mm]\lim_{x\to 0^-}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}(-e^x)=-1.[/mm]
>
> Also: nicht diffbar an der Stelle x=0,
> somit ist die Funktion nicht differenzierbar.
Hallo Angela,
mit Deiner Argumentation bin ich nicht einverstanden. Was Du oben zeigst ist : der Grenzwert
$ [mm] \lim_{x\to 0}f'(x)$
[/mm]
existiert nicht. Daraus kann man aber i.a. nicht schließen, dass f in 0 nicht differenzierbar ist.
Beispiel: sei
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x=0 \\ x^2*sin(1/x), & \mbox{für } x \ne 0 \end{cases}.
[/mm]
Diese Funktion ist in x=0 tadellos differenzierbar, wie man mit dem Differenzenquotient [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] und der Beschränktheit von $sin(1/x)$ leicht sehen kan.
Weiter ist für x [mm] \ne [/mm] 0:
$f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)$
Der Grenzwert $ [mm] \lim_{x\to 0}f'(x)$ [/mm] ex. nicht, wie man mit Hilfe der Folge [mm] (f'(\bruch{1}{n \pi})) [/mm] erkennen kann.
Gruß FRED
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> [mm]\limes_{h\rightarrow0^-} \bruch{e^{|0 +h|} - e^{|0|}}{h}=\limes_{h\rightarrow0^-} \bruch{e^{|h|} - e^{|0|}}{h}=\limes_{h\rightarrow0^-} \bruch{e^{-h} - 1}{h}=\limes_{h\rightarrow0^-} \bruch{-e^{-h}}{1}=-1.[/mm]
Hallo Angela. Ich hab jetzt (denke ich mal) verstanden was du meinst, aber kannst du mir den Teil nochmal erklären. Also den l'Hopital kenne ich. Den benutzt man falls man einen Term [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] hat, aber ich hab hier nur Probleme zu sehen wie du dann auf -1 kommst.
Also [mm] e^{|h|} [/mm] wurde zu [mm] e^{-h}, [/mm] da h negativ ist (?) und [mm] e^{|0|} [/mm] ist 1, das versteh ich auch. Aber den nächsten Schritt versteh ich nicht.
Wie wird beim Zähler [mm] e^{-h}-1 \Rightarrow -e^{-h} [/mm] und beim Nenner h [mm] \Rightarrow [/mm] 1.
> Aber wenn Du von rechts und links eine schöne Ableitung
> hast, brauchst Du Dich hiermit ja gar nicht zu plagen.
Danke. Ich hätte nicht daran gedacht die Funktion in eine abschnittweise definierte Funktion umzuschreiben. Werd ich nächstes mal bei Funktionen mit Beträgen mir merken.
> LG Angela
Mit freundlichen Grüßen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Do 05.05.2016 | | Autor: | chrisno |
leite ab, der Zähler lautet [mm] $e^{-h}+1$, [/mm] abgeleitet ...
der Nenner lautet h, abgeleitet ......
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> leite ab, der Zähler lautet [mm]e^{-h}+1[/mm], abgeleitet ...
> der Nenner lautet h, abgeleitet ......
Achso ja. Ich will zwar nicht wie ein Klugscheißer rüberkommen, aber darf man dann da das Gleichheitszeichen benutzen ? Müsste man nicht eine Art Folgepfeil verwenden?
Mit freundlichen Grüßen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Sa 07.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Do 05.05.2016 | | Autor: | fred97 |
Das Beispiel [mm] e^{|x|} [/mm] würde ich z.B. so erledigen: mit der Potenzreihe der Exponentialfunktion hat man
(*) [mm] \bruch{e^{|h|-1}}{h}=\bruch{|h|}{h}+g(h),
[/mm]
wobei [mm] $g(h)=\bruch{|h|}{2!}+\bruch{|h|^2}{3!}+...$
[/mm]
Man sieht: g(h) [mm] \to [/mm] 0 für h [mm] \to [/mm] 0.
Aus (*) resultiert dann
[mm] $\bruch{e^{|h|-1}}{h} \to [/mm] 1$ für $h [mm] \to [/mm] 0+0$
und
[mm] $\bruch{e^{|h|-1}}{h} \to [/mm] -1$ für $h [mm] \to [/mm] 0-0$
Edit: es soll natürlich überall [mm] \bruch{e^{|h|}-1}{h} [/mm] lauten
FRED
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> Das Beispiel [mm]e^{|x|}[/mm] würde ich z.B. so erledigen: mit der
> Potenzreihe der Exponentialfunktion hat man
>
> (*) [mm]\bruch{e^{|h|-1}}{h}=\bruch{|h|}{h}+g(h),[/mm]
Hallo Fred. Ich hab hier Schwierigkeiten auf [mm] e^{|h|-1} [/mm] zu kommen. Also wie man von [mm] e^{|x|} [/mm] durch Differentialquotienten [mm] e^{|h|-1} [/mm] für den Zähler herleitet.
Die Potenzreihe für [mm] e^x [/mm] ist ja [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}= 1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+ [/mm] ....
Dann müsste die Potenzreihe für [mm] e^{|h|-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(|h|-1)^n}{n!}= 1+(|h|-1)+\bruch{(|h|-1)^2}{2!}+\bruch{(|h|-1)^3}{3!}+ [/mm] ....
Somit müsste [mm] \bruch{e^{|h|-1}}{h} [/mm] = [mm] \bruch{1}{h}+ \bruch{|h|-1}{h}+ \bruch{(|h|-1)^2}{2!*h}+ \bruch{(|h|-1)^3}{3!*h}+ [/mm] .... sein.
Ich kann hier nicht erkennen wie (mein [mm] \bruch{e^{|h|-1}}{h}) [/mm]
[mm] \bruch{1}{h}+ \bruch{|h|-1}{h}+ \bruch{(|h|-1)^2}{2!*h}+ \bruch{(|h|-1)^3}{3!*h} [/mm]
=
[mm] \bruch{|h|}{h}+ \bruch{(|h|)}{2!}+ \bruch{(|h|)^2}{3!}+ [/mm] ...
(dein [mm] \bruch{e^{|h|-1}}{h}) [/mm] sein soll.
Was mache ich falsch oder was sehe/beachte ich nicht?
Mit freundichen Grüßen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Do 05.05.2016 | | Autor: | chrisno |
Ich tippe auf einen Setzfehler:
$ [mm] \bruch{e^{|h|}-1}{h}=\bruch{|h|}{h}+g(h)$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Do 05.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich tippe auf einen Setzfehler:
> [mm]\bruch{e^{|h|}-1}{h}=\bruch{|h|}{h}+g(h)[/mm]
So ist es. Ich hatte mich verschrieben
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 10.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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