Differenzierbarkeit Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Funktion I:= C[0,1] nach R des Banachraumes C[0,1] ( Norm ist die Supremumsnorm) der auf dem Intervall [0,1] stetigen def. Funktion durch [mm] I(f):=\integral_{0}^{1}{f(x) dx}. [/mm] Man zeige diffbarkeit und gebe die Ableitung an. |
Die Aufgabe bin ich mit dem Mittelwertsatz rangegangen.
sup [mm] \parallel [/mm] I(f+m) - I(f) [mm] \parallel [/mm] = [mm] M\parallel [/mm] m [mm] \parallel
[/mm]
in meinem Fall habe ich M: sup [mm] \parallel\integral_{0}^{1}{Df(x) dx}\parallel
[/mm]
Und dann habe ich eine Konstante M gefunden für die die Gleichung gilt. Konstante ist das Supremum der Funktion und ist somit diffbar.
Weiß nicht ob es der richtige ansatz ist. Als ableitung habe ich
I´(f)= [f(x)] von 0 bis 1 mal m
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Fr 28.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion I:= C[0,1] nach R des Banachraumes C[0,1] (
> Norm ist die Supremumsnorm) der auf dem Intervall [0,1]
> stetigen def. Funktion durch [mm]I(f):=\integral_{0}^{1}{f(x) dx}.[/mm]
> Man zeige diffbarkeit und gebe die Ableitung an.
> Die Aufgabe bin ich mit dem Mittelwertsatz rangegangen.
> sup [mm]\parallel[/mm] I(f+m) - I(f) [mm]\parallel[/mm] = [mm]M\parallel[/mm] m
> [mm]\parallel[/mm]
> in meinem Fall habe ich M: sup
> [mm]\parallel\integral_{0}^{1}{Df(x) dx}\parallel[/mm]
> Und dann
> habe ich eine Konstante M gefunden für die die Gleichung
> gilt. Konstante ist das Supremum der Funktion und ist somit
> diffbar.
> Weiß nicht ob es der richtige ansatz ist. Als ableitung
> habe ich
> I´(f)= [f(x)] von 0 bis 1 mal m
1. Was da oben steht ist völlig unsinnig und nicht zu verstehen.
2. An Deinen Ausführungen sieht man, dass Du nicht die leiseste Ahnung von Differentiation in Banachräumen hast. Ich habe keine Lust , Dich damit vertraut zu machen, das ist Deine Aufgabe.
Tu das mal, dann kannst Du dem folgenden 3. besser folgen.
3. Sind X und Y Banachräume und [mm] \phi:X \to [/mm] Y stetig und linear, so siehst Du sofort (wenn Du den Differenzierbarkeitsbegriff verinnerlicht hast), dass [mm] \phi [/mm] in jedem Punkt [mm] x_0 \in [/mm] X differenzierbar ist und dass gilt:
[mm] $\phi'(x_0) [/mm] = [mm] \phi$ [/mm] für jedes [mm] $x_0 \in [/mm] X$
(eine auf den ersten Blick paradox erscheinende Gleichung !)
4. In Deiner Aufgabe ist X = C[0,1], Y = [mm] \IR [/mm] und $ [mm] \phi(f):=\integral_{0}^{1}{f(x) dx}. [/mm] $
Überzeuge dich davon, dass [mm] \phi [/mm] stetig und linear ist.
5. Was Du noch tun mußt: mach Dich so umgehend wie geschwind mit der Differentiation in Banachräumen vertraut.
FRED
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