Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Di 18.01.2011 | | Autor: | Tresche |
| Aufgabe | | Untersuche, ob [mm] f:\IR\to\IR,f(x):=\wurzel{|x|-x} [/mm] an der Stelle 0 differenzierbar ist. |
Nabend,
ich hänge gerade an dieser Aufgabe fest.
Also zuerst hab ich mal eine Fallunterscheidung für f(x) durchgeführt:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \ge \mbox{0 } \\ \wurzel{-2x}, & \mbox{für } x < \mbox{ 0} \end{cases}
[/mm]
Jetzt muss man ja schauen, ob [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] existiert für x=0:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0-0}{h} [/mm] = ?
Ist die Lösung bis hier hin korrekt? Wenn ja, wie komm ich an den Grenzwert von [mm] \bruch{0}{h} [/mm] ?
Danke schon mal!
Gruß
Tresche
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> Untersuche, ob [mm]f:\IR\to\IR,f(x):=\wurzel{|x|-x}[/mm] an der
> Stelle 0 differenzierbar ist.
> Nabend,
>
> ich hänge gerade an dieser Aufgabe fest.
> Also zuerst hab ich mal eine Fallunterscheidung für f(x)
> durchgeführt:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \ge \mbox{0 } \\ \wurzel{-2x}, & \mbox{für } x < \mbox{ 0} \end{cases}[/mm]
>
> Jetzt muss man ja schauen, ob [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
> existiert für x=0:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0-0}{h}[/mm] = ?
wieso steht hier 0-0?
wo ist im zähler das h unter der wurzel hin?
>
> Ist die Lösung bis hier hin korrekt? Wenn ja, wie komm ich
> an den Grenzwert von [mm]\bruch{0}{h}[/mm] ?
>
> Danke schon mal!
>
> Gruß
> Tresche
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Tresche |
>wieso steht hier 0-0?
>wo ist im zähler das h unter der wurzel hin?
Für positive h ist f(0+h) und f(0) doch 0:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \ge \mbox{0 } \\ \wurzel{-2x}, & \mbox{für } x < \mbox{ 0} \end{cases} [/mm] $
Insgesamt also für x=0:
$ [mm] \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } h \ge \mbox{0 } \\ \bruch{\wurzel{-2h}}{h}, & \mbox{für } h < \mbox{ 0} \end{cases} [/mm] $
Muss ich jetzt zeigen, dass auch [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{-2h}}{h} [/mm] gegen [mm] \limes_{h\rightarrow 0}0=0 [/mm] läuft, damit der Grenzwert eindeutig existiert? Wenn ja, wie bestimme ich diesen GW?
Gruß
Tresche
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Hallo Tresche,
> >wieso steht hier 0-0?
> >wo ist im zähler das h unter der wurzel hin?
> Für positive h ist f(0+h) und f(0) doch 0:
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \ge \mbox{0 } \\
\wurzel{-2x}, & \mbox{für } x < \mbox{ 0} \end{cases}[/mm]
Ja, das ist schon ok. Der Limes ist so ja auch richtig bestimmt, aber es liest sich doch besser, wenn Du erstmal [mm] \wurzel{x-x} [/mm] stehen lässt. Dann ist die Grenzwertbildung besser nachzuvollziehen, oder aber Du stellst obige Fallunterscheidung vorweg.
> Insgesamt also für x=0:
> [mm]\bruch{f(0+h)-f(0)}{h}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } h \ge \mbox{0 } \\
\bruch{\wurzel{-2h}}{h}, & \mbox{für } h < \mbox{ 0} \end{cases}[/mm]
>
> Muss ich jetzt zeigen, dass auch [mm]\bruch{\wurzel{-2h}}{h}[/mm]
> gegen 0 läuft, damit der Grenzwert eindeutig existiert?
> Wenn ja, wie bestimme ich diesen GW?
Ja, das musst Du zeigen.
Den Grenzwert kannst Du auf zwei Weisen bestimmen, entweder indem Du kürzt, oder indem Du den Satz von l'Hospital anwendest.
Und: er ist nicht Null. Hast Du die Funktion schon mal gezeichnet oder wenigstens skizziert?
Grüße
reverend
> Gruß
> Tresche
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Tresche |
> Ja, das musst Du zeigen.
> Den Grenzwert kannst Du auf zwei Weisen bestimmen,
> entweder indem Du kürzt, oder indem Du den Satz von
> l'Hospital anwendest.
> Und: er ist nicht Null. Hast Du die Funktion schon mal
> gezeichnet oder wenigstens skizziert?
Bei Annäherung von links ergibt sich:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{-2h}}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{2}*\wurzel{-h}}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{-\wurzel{2}}{\wurzel{-h}} \to -\infty
[/mm]
Damit ist der Grenzwert bei x=0 nicht eindeutig (0 von rechts und [mm] -\infty [/mm] von links) und somit die Funktion f bei 0 nicht differenzierbar.
Ist die Schlussfolgerung und die Grenzwertbestimmung so korrekt?
Vielen Dank schon mal!
Gruß
Tresche
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Hallo nochmal,
> > Ja, das musst Du zeigen.
> > Den Grenzwert kannst Du auf zwei Weisen bestimmen,
> > entweder indem Du kürzt, oder indem Du den Satz von
> > l'Hospital anwendest.
> > Und: er ist nicht Null. Hast Du die Funktion schon mal
> > gezeichnet oder wenigstens skizziert?
>
> Bei Annäherung von links ergibt sich:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{-2h}}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{2}*\wurzel{-h}}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{-\wurzel{2}}{\wurzel{-h}} \to -\infty[/mm]
>
> Damit ist der Grenzwert bei x=0 nicht eindeutig (0 von
> rechts und [mm]-\infty[/mm] von links) und somit die Funktion f bei
> 0 nicht differenzierbar.
>
> Ist die Schlussfolgerung und die Grenzwertbestimmung so
> korrekt?
> Vielen Dank schon mal!
Ja, das ist alles richtig so!
Grüße
reverend
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