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Also ich bin wirklich am verzweifeln bei folgender aufgabe:
Die Funktion sollte auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit überprüft werden:
f(x)= 3x³-2x²-4x+1 , wenn x<-2
-23, wenn x=-2
x³-9x²-8x+5 , wenn x>-2
Wenn ich den linksseitigen und rechtsseitigen [mm] \limes_{x\rightarrow\-2} [/mm] berechne, dann erhalte ich jeweils -23, was ja bedeuten würde, dass meine Funktion beidseitig stetig ist.
Kommen wir nun zur Differenzierbarkeit:
Da habe ich zunächst von der Teilfunktion die Ableitung gebildet
f´(x)= 9x²-4x-4
und habe anschließend linksseitige und rechtsseitige differenzierbarkeit überprüft (mit der h-methode):
links: [mm] \limes_{h\rightarrow\-2} [/mm] (-9h²+4h+4)-(-4)/ -h
[mm] \limes_{h\rightarrow\-2} [/mm] -h (-9-4-(8/h))/ -h
[mm] \limes_{h\rightarrow\-2} [/mm] 9h+4h+(8/h) = -18
rechts: [mm] \limes_{h\rightarrow\-2} [/mm] (9h²-4h-4)-(-4)/ h
[mm] \limes_{h\rightarrow\-2} [/mm] h (9h-4) /h
[mm] \limes_{h\rightarrow\-2} [/mm] 9h-4 = -22
da die zwei werte nicht übereinstimmen wäre die funktion für x=-2 nicht differenzierbar.
jetzt weiß ich aber, dass die richtige lösung ist, dass die funktion an der stelle sowohl -2 stetig ist als auch diff.bar... ich weiß jedoch nicht wo mein Fehler liegt! Wäre nett, wenn mich jemand aufklären würde.
Mit freundlichen Grüßen aus Hamburg !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jessica2011,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Also ich bin wirklich am verzweifeln bei folgender
> aufgabe:
>
> Die Funktion sollte auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit
> überprüft werden:
>
> f(x)= 3x³-2x²-4x+1 , wenn x<-2
> -23, wenn x=-2
> x³-9x²-8x+5 , wenn x>-2
>
> Wenn ich den linksseitigen und rechtsseitigen
> [mm]\limes_{x\rightarrow\-2}[/mm] berechne, dann erhalte ich jeweils
> -23, was ja bedeuten würde, dass meine Funktion beidseitig
> stetig ist.
>
> Kommen wir nun zur Differenzierbarkeit:
>
> Da habe ich zunächst von der Teilfunktion die Ableitung
> gebildet
>
> f´(x)= 9x²-4x-4
>
> und habe anschließend linksseitige und rechtsseitige
> differenzierbarkeit überprüft (mit der h-methode):
>
> links: [mm]\limes_{h\rightarrow\-2}[/mm] (-9h²+4h+4)-(-4)/ -h
> [mm]\limes_{h\rightarrow\-2}[/mm] -h (-9-4-(8/h))/ -h
> [mm]\limes_{h\rightarrow\-2}[/mm] 9h+4h+(8/h) = -18
>
> rechts: [mm]\limes_{h\rightarrow\-2}[/mm] (9h²-4h-4)-(-4)/ h
> [mm]\limes_{h\rightarrow\-2}[/mm] h (9h-4) /h
> [mm]\limes_{h\rightarrow\-2}[/mm] 9h-4 = -22
>
> da die zwei werte nicht übereinstimmen wäre die funktion
> für x=-2 nicht differenzierbar.
>
> jetzt weiß ich aber, dass die richtige lösung ist, dass
> die funktion an der stelle sowohl -2 stetig ist als auch
> diff.bar... ich weiß jedoch nicht wo mein Fehler liegt!
> Wäre nett, wenn mich jemand aufklären würde.
>
Hier muss Du den linksseitigen Grenzwert berechnen als
[mm]f'\left(-2\right)=\limes_{h \to 0}{\bruch{f\left(-2-h\right)-f\left(-2\right)}{-h} [/mm]
Entsprechend den rechtssetigen Grenzwert:
[mm]f'\left(-2\right)=\limes_{h \to 0}{\bruch{f\left(-2+h\right)-f\left(-2\right)}{h} [/mm]
> Mit freundlichen Grüßen aus Hamburg !
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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oh :S
also wenn ich
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] (-2-h)-40 / -h berechne komme ich auf den wert 1
genauso wenn ich
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] (-2+h)-40 / h bereche.
da die werte übereinstimmen ist die funktion differenzierbar. stimmts so jetzt ?
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Hallo Jessica2011,
> oh :S
>
> also wenn ich
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] (-2-h)-40 / -h berechne komme ich
> auf den wert 1
Ich habe Dir doch geschrieben, was Du berechnen musst:
[mm]\limes_{h \to 0}{\bruch{f\left(-2-h\right)-f\left(-2\right)}{-h}[/mm]
bzw.
[mm]\limes_{h \to 0}{\bruch{f\left(-2+h\right)-f\left(-2\right)}{h}[/mm]
>
> genauso wenn ich
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] (-2+h)-40 / h bereche.
>
>
> da die werte übereinstimmen ist die funktion
> differenzierbar. stimmts so jetzt ?
Leider nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Gruss
MathePower
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hmmm :S . .. also jetzt habe ich gerechnet:
f(-2-h) - f(-2) / -h
= 9*((-2-h)²)-(4(-2-h)) -4 -40 / -h = -40
für die andere seite habe ich auch -40...
stimmt es jetzt :S
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Hallo Jessica2011,
> hmmm :S . .. also jetzt habe ich gerechnet:
>
> f(-2-h) - f(-2) / -h
>
> = 9*((-2-h)²)-(4(-2-h)) -4 -40 / -h = -40
Hier hat Du offenbar wieder mit der ersten Ableitung gerechnet.
Es ist purer Zufall, daß
[mm]\limes_{h \to 0}\bruch{f\left(-2-h\right)-f\left(-2\right)}{-h}=\limes_{h \to 0}\bruch{f'\left(-2-h\right)-f'\left(-2\right)}{-h}[/mm]
>
> für die andere seite habe ich auch -40...
>
> stimmt es jetzt :S
Nun, die Grenzwerte stimmen, aber wie Du sie errechnet hast,
ist nicht in Ordnung.
Gruss
MathePower
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Ich kann überhaupt nicht mehr folgen! Um die Differenzierbarkeit zu überprüfen, muss doch über die erste Ableitung gehen oder nicht ?
Jetzt sagen sie mir dass es purer zufall ist dass die werte von f(x) und die werte von der ableitung übereinstimmen und dass meine rechnung nicht in ordnung sei ? Was mache ich denn falsch ? oder was habe ich immer noch nicht verstanden? ich seh das gerade nicht!!!
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Hallo Jessica,
> Ich kann überhaupt nicht mehr folgen! Um die
> Differenzierbarkeit zu überprüfen, muss doch über die
> erste Ableitung gehen oder nicht ?
Wie willst du das machen?
Du willst prüfen, ob eine Funktion [mm]f[/mm] diffbar ist (also ob die Ableitung existiert) und willst dauzu die Ableitung benutzen, von der du noch gar nicht weißt, ob sie existiert?!
Das kann nicht klappen!
> Jetzt sagen sie mir dass es purer zufall ist dass die
> werte von f(x) und die werte von der ableitung
> übereinstimmen und dass meine rechnung nicht in ordnung
> sei ? Was mache ich denn falsch ? oder was habe ich immer
> noch nicht verstanden? ich seh das gerade nicht!!!
Das hat Mathepower doch mehrfach hingeschrieben.
Die Ableitung berechnet sich doch über den Grenzwert des Differenzenquotienten.
Und den Zusammenhang zwischen linksseitigem und rechtsseitigem GW des Differenzenquotienten solltest du auch kennen.
Schlage nochmal nach, wie ihr "Differenzierbarkeit" definiert habt...
Sonst wird das nix, du musst dir über die Definitionen im Klaren sein !
Gruß
schachuzipus
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