Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo alle zusammen,
ich habe Probleme mit der Differenzierbarkeit,
wie zum Beispiel mit folgender Aufgabe:
Stellen Sie fest, an welchen Stellen f differenzierbar ist für
a) f(x) = x * |x| , x [mm] \in \IR
[/mm]
x*cos [mm] \bruch{ \pi}{x} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0
b) f(x)=
0 für x = 0
so, nun zu a) in der Vorlesung hatten wir bewiesen, dass |x| stetig aber nicht diff'bar in 0 ist, wobei mir das noch nicht wirklich klar geworden ist.
Dann müßte doch jetzt die Funktion a) für x [mm] \not= [/mm] 0 diff'bar in ganz [mm] \IR [/mm] sein, oder irre ich mich ?? Wie schreib ich das dann korrekt auf ?
bei b) fehlt mir irgendwie komplett der Ansatz.
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Vielen Dank.
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt !
|
|
| |
|
Hi!
Eine Anmerkung zu a):
Überlege Dir nochmal genau, warum die Betragsfunktion in x=0 nicht diff´bar ist (da war doch irgendetwas mit 1 und -1  ).
Damit weisst Du schon, dass Deine Funktion als Komposition diff´barer Funktion diffbar ist, ausser in x=0.
Das gilt aber nch zu überprüfen:
Dabei wirst Du aber feststellen, dass die Funktion aber tatsächlich diff´bar ist.
Benutze die Def. der Dif´barkeit. Damit sollte es gehen.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> a) f(x) = x * |x| , x [mm]\in \IR
[/mm]
schau Dir mal diesen Thread an. Dort geht es im Prinzip genau um dasselbe.
> x*cos [mm]\bruch{ \pi}{x}[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 0
> b) f(x)=
> 0 für x = 0
> [...]
> bei b) fehlt mir irgendwie komplett der Ansatz.
Wuerde mich auch interessieren.
Michael
|
|
|
| |
|
Hi,
also, wenn ich die Funktion jetzt umschreibe erhalte ich ja genau das gleiche, wie in dem Thread, den du mir aufgeführt hast, nämlich
$ [mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \ge0 \\ - x^{2}, & \mbox{für} x<0\end{cases} [/mm] $
stimmt doch, oder ?
Wenn ich das jetzt aufgreife, was in dem anderen Thread steht :
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}}x+x_{0}=2x_{0} [/mm] $
Den Schritt von [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] nach [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}} [/mm] versteh ich ja noch, aber wie kommt man von da nach [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}x+x_{0} [/mm] ???
Ich mein, das 2x die Ableitung von [mm] x^{2} [/mm] ist, ist ja klar.
Muß man jetzt diese ganze Differentialgleichungsrechnung auch für den
Fall [mm] -x^{2} [/mm] machen, um dann irgendwie auf -2x zu kommen ??
Wenn ich mich jetzt den Grenzwerten widme, einmal den von rechts für x=0 und einmal den von links. Dann bekomme ich in beiden Fällen dasselbe Ergebiss 0 raus. Heißt das jetzt, das die Funktion in ganz [mm] \IR [/mm] diff'bar ist ??
Ich hab irgendwie ein Brett vor dem Kopf. Ich versteh das einfach nicht.
Würde mich freuen, wenn du bzw. irgendjemand mir das erklären könnte.
Auch Vorschläge zu b) sind sehr erwünscht 
|
|
|
| |
|
Hallo,
> also, wenn ich die Funktion jetzt umschreibe erhalte ich ja
> genau das gleiche, wie in dem Thread, den du mir aufgeführt
> hast, nämlich
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \ge0 \\ - x^{2}, & \mbox{für} x<0\end{cases}[/mm]
>
>
> stimmt doch, oder ?
genau.
> Wenn ich das jetzt aufgreife, was in dem anderen Thread
> steht :
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}}x+x_{0}=2x_{0}[/mm]
>
>
> Den Schritt von [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
> nach [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}}[/mm]
> versteh ich ja noch, aber wie kommt man von da nach
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}x+x_{0}[/mm] ???
Den Zaehler von
[mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}}[/mm]
kannst Du umschreiben (Binom) und anschliessend den Bruch kuerzen.
> Ich mein, das 2x die Ableitung von [mm]x^{2}[/mm] ist, ist ja
> klar.
>
> Muß man jetzt diese ganze Differentialgleichungsrechnung
> auch für den
> Fall [mm]-x^{2}[/mm] machen, um dann irgendwie auf -2x zu kommen
> ??
Ja, fuer [mm]x_o < 0[/mm]. Schau Dir nochmal die Antwort auf den ersten Beitrag des von mir genannten Threads an.
> Wenn ich mich jetzt den Grenzwerten widme, einmal den von
> rechts für x=0 und einmal den von links. Dann bekomme ich
> in beiden Fällen dasselbe Ergebiss 0 raus. Heißt das jetzt,
> das die Funktion in ganz [mm]\IR[/mm] diff'bar ist ??
Genau.
Michael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Do 27.01.2005 | | Autor: | Chironimus |
Hi Michael,
ich danke dir für die Hilfe, diese Aufgabe hab ich jetzt verstanden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mi 26.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
t
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}} [/mm] $ =t
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch({ x- x_{0})*( x+ x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] $ dann kürzen.
lim links = limes rechts folgt differenzierbar.
b) x , cos [mm] \bruch{\pi}{x} [/mm] sind beide differenzierbar für x >0 und x<0, also auch ihr Produkt.
bei Null nicht differenzierbar , da der Differenzenquotient für x gegen 0 beliebig oft alle Werte zwischen -1 und +1 annimmt. gib eine Epsilon Umgebung vor, und Zeig, wie oft cos [mm] \bruch{\pi}{x} [/mm] etwa +1 und -1 annimmt. Bsp.0,001< x< 0,01 ca 450 mal +1, 450 mal -1. je ne Null mehr hinter dem Komma gibt 4500mal etc.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hi Leduart,
zunächst mal danke für deine Antwort. Aber ich hab da noch ne Frage zu.
Zunächst muß ich ja zeigen, dass beide Funktion diff'bar sind für x<0 und x>0 und somit als Komposition auch diff'bar ist. (Wenn ich das jetzt richtig verstanden haben sollte).
Für x geht das ja noch sehr gut mit dem Differentialquotienten, aber wie zeige ich die Diff'barkeit von cos $ [mm] \bruch{\pi}{x} [/mm] $ ?? Geht das überhaupt mit dem Differentialquotienten ??
Und dann hast du was über eine Epsilon Umgebung gesagt. Das versteh ich irgendiwe überhaupt nicht.
Die Funktion ist ja 0 für x=0 und jetzt frage ich mich , wie du darauf kommst, dass der Differenzquotient für x gegen 0 beliebig oft die Werte -1 und 1 annimmt und somit die nicht Diff'barkeit gezeigt ist. Ich habe da echt Problemem, dies nach zu vollziehen und würde mich daher riesig freuen, wenn du mir das noch ein wenig genauer erklären könntest.
Grüße Chiro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:28 Do 27.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich dachte , daas ihr die einfachen Funktionen schon differenzieren könnt, und dass nur die Null die Schwierigkeit ist.
Wenn nicht ,stehen die Herleitungen in vielen üblichen Schulbücher, auch der Beweis , wie man ein Produkt ableitet. Keine Lust das abzuschreiben oder neu aufzuschreiben.
Der cos wechselt sein Vorzeichen wirklich so oft,also wird er auch beliebig steil. x hat die Steigung 1, das macht die Steigung auch nicht kleiner.! Sieh dir die Herleitung für die Produktregel an,dann siehst du wie es läuft. Wenn du die Produktregek einfach anwendest, was du für x>0 kannst, siehst du ja auch was in der Nähe von 0 passiert.
Gruss leduart
|
|
|
|
