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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Do 04.10.2007 | | Autor: | DaniTwal |
| Aufgabe |
[mm] f(x)=\begin{cases} 1/4 x^2 - 2x -4, & \mbox{für } x \le -2 \mbox{} \\ ax^2+bx+c, & \mbox{für } -2
Ermitteln Sie rechnerisch c,a,b , wenn die Stellen x= 2 und x=-2 differenzierbar sind. |
Hallo alle zusammen!
ich hab mit der aufgabe so begonnen, dass ich erstmal die ableitung aller funktionen ausgerechnet habe und anschließend [mm] f'(2)=lim\underline{x->2+} [/mm] f'(x)= [mm] lim\underline{x->2-}f'(x) [/mm] ermittelt habe. bei x=2 kam dann 1=4a + b und bei x=-2 (mit dem gleichen verfahren) ... -3= -4a + b.
Als ich die beiden gleichungen eingesetzt habe, kam folgendes raus: a=0.5 und b=-1.. um c auszurechnen habe ich die folgende gleichung durch [mm] f(2)=lim\underline{x->2+} [/mm] f(x)= [mm] lim\underline{x->2-}f(x) [/mm] ermitteln können: -1= 4a + 2b+c (hab vorausgesetzt, dass f stetig ist)..
dann habe ich a und b eingesetzt und c=-1 rausbekommen..
ist das jetzt richtig oder habe ich da irgendwas falsch gemacht ( was ich eig. vermute..)
ist wenigstens der ansatz richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]f(x)=\begin{cases} 1/4 x^2 - 2x -4, & \mbox{für } x \le -2 \mbox{} \\ ax^2+bx+c, & \mbox{für } -2
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> Ermitteln Sie rechnerisch c,a,b , wenn die Stellen x= 2 und
> x=-2 differenzierbar sind.
> Hallo alle zusammen!
> ich hab mit der aufgabe so begonnen, dass ich erstmal die
> ableitung aller funktionen ausgerechnet habe und
> anschließend [mm]f'(2)=\lim_{x->2+}[/mm] f'(x)=
> [mm]\lim_{x->2-}f'(x)[/mm] ermittelt habe. bei x=2 kam dann
> 1=4a + b und bei x=-2 (mit dem gleichen verfahren) ... -3=
> -4a + b.
> Als ich die beiden gleichungen eingesetzt habe, kam
> folgendes raus: a=0.5 und b=-1.. um c auszurechnen habe ich
> die folgende gleichung durch [mm]f(2)=\lim_{x->2+}[/mm]
> f(x)= [mm]\lim_{x->2-}f(x)[/mm] ermitteln können: -1= 4a +
> 2b+c (hab vorausgesetzt, dass f stetig ist)..
> dann habe ich a und b eingesetzt und c=-1 rausbekommen..
> ist das jetzt richtig oder habe ich da irgendwas falsch
> gemacht ( was ich eig. vermute..)
> ist wenigstens der ansatz richtig?
Hallo,
der Ansatz ist sehr gut.
Dein Gedanke: an den "Nahtstellen" müssen die Ableitungen "zusammenpassen".
Aus den entsprecenden Bedingungen an den Stellen -2 und 2 erhältst Du [mm] a=\bruch{1}{2} [/mm] und b=-1.
Du weißt also, daß die Funktion so aussehen muß:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1/4 x^2 - 2x -4, & \mbox{für } x \le -2 \mbox{} \\ \bruch{1}{2}x^2-x+c, & \mbox{für } -2
Nun hast Du wegen der Stetigkeit, die aufgrund der Differenzierbarkeit gegeben sein MUSS, zwei weitere Gleichungen, weil nämlich die Funktionswerte an den "Nahtstellen" "passen" müssen:
1/4 [mm] (-2)^2 [/mm] - 2*(-2) [mm] -4=\bruch{1}{2}(-2)^2-(-2)+c [/mm] und
-1/4 * [mm] 2^2 [/mm] + 2*2 [mm] -4=\bruch{1}{2}2^2-2+c
[/mm]
<==> 1=4+c und -1=c
Zweiteres hattest Du ja schon ausgerechnet (- fast vermute ich, daß Du das erste auch schon irgendwo stehen hattest.)
Die beiden Gleichungen müssen gleichzeitig erfüllt sein, da unsere Funktion stetig sein muß. Das klappt nicht, leider...
Man findet also keine a,b,c so, daß f diffbar ist in 2 und -2.
Gruß v. Angela
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