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Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:55 Di 03.02.2004
Autor: Tina

Hallo zusammen ich habe hier ne Aufgabe die mir ein paar Probleme macht. Könntet ihr mir vielleicht dazu einen Tipp geben?

Also die Aufgabe lautet:

Die Funktionen f und g seien auf einem abgeschlossenen Intervall I differenzierbar, und für alle [mm]x\in I[/mm] gelte [mm]f(x)g^{'}(x)\neq f^{'}(x)g(x)[/mm]. Zeigen sie, dass zwischen zwei Nullstellen von f immer eine Nullstelle von g liegt.

Ich danke euch schon im vorraus.

Tina

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:12 Mi 04.02.2004
Autor: Stefan

Liebe Tina,

es seien [mm]x_0[/mm] und [mm]x_1[/mm] zwei Nullstellen von [mm]f[/mm] in [mm]I[/mm] mit [mm]x_0 < x_1[/mm].

Wegen

[mm]f(x_0)\cdot g'(x_0) \ne f'(x_0) \cdot g(x_0)[/mm]

und

[mm]f(x_1)\cdot g'(x_1) \ne f'(x_1) \cdot g(x_1)[/mm]

folgt:

[mm]g(x_0) \ne 0[/mm] und [mm]g(x_1) \ne 0[/mm],

d.h. die Funktion

[mm]h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}[/mm]

ist in [mm]x_0[/mm] und [mm]x_1[/mm] definiert.

Wäre nun

[mm]g(x) \ne 0 [/mm] für alle [mm]x \in ]x_0,x_1[[/mm],

so wäre [mm]h[/mm] eine in [mm][x_0,x_1][/mm] stetige und [mm]]x_0,x_1[[/mm] differenzierbare Funktion mit

[mm]h(x_0) = 0 = h(x_1)[/mm].

Nach dem Mittelwertsatz müsste es dann ein [mm]x \in ]x_0,x_1[[/mm] geben mit

[mm]h'(x) = 0[/mm].

Es gilt aber nach Voraussetzung

[mm]h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \ne 0[/mm]

für alle [mm]x \in I[/mm], Widerspruch.

Daher muss es ein [mm]x \in ]x_0,x_1[[/mm] geben mit

[mm]g(x)=0[/mm],

was zu zeigen war.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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