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| Aufgabe | Sei f : [mm] R^n \to [/mm] R stetig di fferenzierbar, und sei g :]a; b[ [mm] \to R^n [/mm] eine beliebige di fferenzierbare Kurve, die auf einer
Höhenlinie von f verläuft, die also
f(g(t))=const [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] ]a,b[
erfüllt. Zeigen Sie, dass der Gradient [mm] \Delta [/mm] f(x) von f an einer Stelle x = g(t) senkrecht auf dem Tangentialvektor
g´(t) von g an der Stelle t steht.
Tipp: Di fferenzieren Sie f(g(t)) nach t. |
Ich komme mit dieser Aufgabe nicht klar.
Kann mir jemand weiter helfen?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f : [mm]R^n \to[/mm] R stetig di fferenzierbar, und sei g :]a;
> b[ [mm]\to R^n[/mm] eine beliebige di fferenzierbare Kurve, die auf
> einer
> Höhenlinie von f verläuft, die also
>
> f(g(t))=const [mm]\forall[/mm] t [mm]\in[/mm] ]a,b[
>
> erfüllt. Zeigen Sie, dass der Gradient [mm]\Delta[/mm] f(x)
Du meinst sicher [mm] $\nabla f\,.$
[/mm]
> von f
> an einer Stelle x = g(t) senkrecht auf dem
> Tangentialvektor
> g´(t) von g an der Stelle t steht.
>
> Tipp: Di fferenzieren Sie f(g(t)) nach t.
>
> Ich komme mit dieser Aufgabe nicht klar.
> Kann mir jemand weiter helfen?
Man kann Dir nur den Rat geben,erstmal den Tipp zu befolgen:
Also:
Aus
$$(f [mm] \circ g)(t)=\text{const}$$
[/mm]
folgt
[mm] $$\frac{d(f \circ g)(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\text{const}\,.$$
[/mm]
Was ist die Ableitung einer konstanten Funktion: Also was kommt rechterhand raus? Links kannst Du die (mehrdimensionale) Kettenregel verwenden: Wie sieht denn da die Jacobi-Matrix von [mm] $f\,$ [/mm] (an der Stelle [mm] $g(t)\,$) [/mm] aus (also was hat die mit dem Gradienten von [mm] $f\,$ [/mm] an der eben erwähnten Stelle zu tun)?
Und dann gibt's ja so tolle Sachen, dass im Anschauungsraum [mm] $\IR^n$ [/mm] zwei Vektoren genau dann senkrecht aufeinander stehen, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet...
Gruß,
Marcel
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