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Forum "Analysis des R1" - Differenziation

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Differenziation: Korrektur

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:56 So 24.06.2012
Autor:	Bluma89

Hallo ihr. Auch wenn gerade Italien gegen England spielt hätte ich eine Frage zu meinen Aufgaben:

Ich soll die Jacobimatrix folgender Funktion aufstellen:

[mm] f(r,\phi,z)=(r*cos(\phi),r*sin(\phi),z) [/mm]

Meine Matrix sieht dann folgendermaßen aus:

[mm] J(r,\phi,z)=\pmat{cos(\phi) & -r*sin(\phi) & 0 \\ sin(\phi) & r*cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0& 1 } [/mm]

Ist diese soweit richtig?

Weiterhin habe ich die Funktion f(x1,x2)=(x1-x2)*ln(x1+x2). Davon soll ich die Richtungsableitung im Punkt P=(-1,3) in Richtung des Einheitsvektors [mm] \overrightarrow{e}=\vektor{e1 \\ e2} [/mm] bestimmen:

[mm] \bruch{d}{dx1}f(x1,x2) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx1}[(x1-x2)*ln(x1+x2)] [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx1}[x1-x2]*ln(x1+x2)+\bruch{d}{dx1}[ln(x1+x2)]*(x1-x2) [/mm] = [mm] ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2} [/mm]

[mm] \bruch{d}{dx2}f(x1,x2) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx2}[(x1-x2)*ln(x1+x2)] [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx2}[x1-x2]*ln(x1+x2)+\bruch{d}{dx2}[ln(x1+x2)]*(x1-x2) [/mm] = [mm] -ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2} [/mm]

[mm] grad(f)=[ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2},-ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}] [/mm]

Richtungsableitungsvektor:
[mm] \vektor{ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2} \\ -ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] =

Ist dies soweit korrekt?

Für den Punkt P müsste ich dann -1 und 3 für x1 und x2 einsetzen?

Bezug

Differenziation: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:11 So 24.06.2012
Autor:	MathePower

Hallo Bluma89,

> Hallo ihr. Auch wenn gerade Italien gegen England spielt
> hätte ich eine Frage zu meinen Aufgaben:
>
> Ich soll die Jacobimatrix folgender Funktion aufstellen:
>
> [mm]f(r,\phi,z)=(r*cos(\phi),r*sin(\phi),z)[/mm]
>
> Meine Matrix sieht dann folgendermaßen aus:
>
> [mm]J(r,\phi,z)=\pmat{cos(\phi) & -r*sin(\phi) & 0 \\ sin(\phi) & r*cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0& 1 }[/mm]
>
> Ist diese soweit richtig?
>

Ja.

>
> Weiterhin habe ich die Funktion f(x1,x2)=(x1-x2)*ln(x1+x2).
> Davon soll ich die Richtungsableitung im Punkt P=(-1,3) in
> Richtung des Einheitsvektors [mm]\overrightarrow{e}=\vektor{e1 \\ e2}[/mm]
> bestimmen:
>
> [mm]\bruch{d}{dx1}f(x1,x2)[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx1}[(x1-x2)*ln(x1+x2)][/mm]
> =
> [mm]\bruch{d}{dx1}[x1-x2]*ln(x1+x2)+\bruch{d}{dx1}[ln(x1+x2)]*(x1-x2)[/mm]
> = [mm]ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx2}f(x1,x2)[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx2}[(x1-x2)*ln(x1+x2)][/mm]
> =
> [mm]\bruch{d}{dx2}[x1-x2]*ln(x1+x2)+\bruch{d}{dx2}[ln(x1+x2)]*(x1-x2)[/mm]
> = [mm]-ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}[/mm]
>
> [mm]grad(f)=[ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2},-ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}][/mm]
>
> Richtungsableitungsvektor:
>  [mm]\vektor{ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2} \\ -ln(x1+x2)+\bruch{x1-x2}{x1+x2}}[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] =
>
> Ist dies soweit korrekt?

>

Ja.

> Für den Punkt P müsste ich dann -1 und 3 für x1 und x2
> einsetzen?

Genau.

Gruss
MathePower