Differenzialgleichung n-ter O < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differenzialgleichungen an:
a) y''+y'-2y = 0,
b) 2y''-5y'+2y = 0,
c) y''-4y'+5y = 0,
d) [mm] y^{(4)}-y [/mm] = 0,
e) [mm] y^{(4)}+2y''+y [/mm] = 0. |
Meine Lösungen:
a)
[mm] \lambda² [/mm] + [mm] \lambda [/mm] - 2 = 0
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -2
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 1
y(t) = [mm] C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{t}
[/mm]
-------------------------------------------------------------------------------------------
b)
[mm] 2\lambda² [/mm] - [mm] 5\lambda [/mm] + 2 = 0
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 2
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 0,5
y(t) = [mm] C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{\bruch{1}{2}t}
[/mm]
--------------------------------------------------------------------------------------------
c)
[mm] \lambda² [/mm] - [mm] 4\lambda [/mm] + 5 = 0
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 2+i
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 2-i
Was kommt jetzt für eine Lösung raus? Mit dem Imaginärteil wird das ja etwas anders.
--------------------------------------------------------------------------------------------
d)
[mm] \lambda^{4} [/mm] - 1 = 0
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1
[mm] \lambda_{2} [/mm] = i
[mm] \lambda_{3} [/mm] = -i
[mm] \lambda_{4}= [/mm] 1
Hier das gleiche Problem wie bei c)
--------------------------------------------------------------------------------------------
e)
[mm] \lambda^{4} [/mm] + [mm] 2\lambda [/mm] + 1 = 0
[mm] \lambda_{1} [/mm] = i
[mm] \lambda_{2} [/mm] = -i
[mm] \lambda_{3} [/mm] = i
[mm] \lambda_{4}= [/mm] -i
Was kommt als Lösung raus?
Danke für eure Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo marko1612,
auch mit komplexen Nullstellen kommst Du durchaus auf reelle Lösungen, da die Nullstellen konjugiert komplex zueinander sind. Denke bitte dran, dass dieser Ansatz über die e-Funktion läuft und da gibt es so was wie die Formel von Moivre, die den Zusammenhang herstellt zwischen einer e-Funktion mit komplexem Argument und den trigonometrischen Funktionen.
Generell gilt, dass bei einem Paar konjugiert komplexer Nullstellen, also
$$ [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + i [mm] \beta [/mm] $$ und
$$ [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] - i [mm] \beta [/mm] $$ die Lösungen der DGL lauten
$$ [mm] e^{\alpha x} \cos (\beta [/mm] x) $$ und
$$ [mm] e^{\alpha x} \sin (\beta [/mm] x) $$
Die Lösung für c) sieht Du jetzt sofort.
Treten zweifache Nullstellen auf, wie bei Aufgabe d) und e), so sind die linear unabhängigen Lösungen der DGL der normale Lösungssatz sowie der mit x multiplizierte Lösungssatz. Zur doppelt auftretenden 1 in d) gehören also [mm] e^x [/mm] und [mm] x \cdot e^x [/mm] als Lösungen.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
