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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Tizian |
| Aufgabe | Erstellen Sie die Gleichung aller Funktionen f(x), die die folgende Differenzialgleichung erfüllen.
[mm] f'(x)=(2x+f(x))^{2} [/mm] |
Ich habe probiert, diese Gleichung über das Separationsverfahren zu lösen, aber das ging nicht, wegen [mm] f(x)^{2} [/mm] .
Auch handelt es sich um keine lineare Differenzialgleichung.
Deswegen bräuchte ich eure Hilfestellung.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Tizian,
> Erstellen Sie die Gleichung aller Funktionen f(x), die die
> folgende Differenzialgleichung erfüllen.
> [mm]f'(x)=(2x+f(x))^{2}[/mm]
> Ich habe probiert, diese Gleichung über das
> Separationsverfahren zu lösen, aber das ging nicht, wegen
> [mm]f(x)^{2}[/mm] .
> Auch handelt es sich um keine lineare
> Differenzialgleichung.
>
> Deswegen bräuchte ich eure Hilfestellung.
Substituiere [mm]y\left(x\right)=z\left(x\right)-2x[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 05.12.2010 | | Autor: | Tizian |
[mm] f'(x)=(2x+f(x))^{2}
[/mm]
Substituion:
z(x)=2x+f(x)
z'(x)=2+f'(x)
f'(x)=z'(x)-2
[mm] z'(x)-2=z(x)^{2}
[/mm]
[mm] z'(x)=z(x)^{2}+2
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=z(x)^{2}+2
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z(x)^{2}+2} dz}=\integral_{}^{}{1 dx}
[/mm]
Ich kann den linken Term nicht integrieren bzw. weiß ich nicht, wie?!?
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Hallo Tizian,
> [mm]f'(x)=(2x+f(x))^{2}[/mm]
>
> Substituion:
> z(x)=2x+f(x)
>
> z'(x)=2+f'(x)
> f'(x)=z'(x)-2
>
> [mm]z'(x)-2=z(x)^{2}[/mm]
> [mm]z'(x)=z(x)^{2}+2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch{dz}{dx}=z(x)^{2}+2[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{z(x)^{2}+2} dz}=\integral_{}^{}{1 dx}[/mm]
>
> Ich kann den linken Term nicht integrieren bzw. weiß ich
> nicht, wie?!?
Na, du kennst doch sicher [mm]\int{\frac{1}{1+x^2} \ dx} \ = \ \arctan(x)+C[/mm]
Hier geht's so: klammere im Nenner 2 aus:
[mm]z^2+2=2\left(\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^2+1\right)[/mm]
Also hast du [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^2+1} \ dz}[/mm]
Nun substituiere [mm]\frac{z}{\sqrt{2}}=\tan(u)[/mm], also [mm]z=\sqrt{2}\cdot{}\tan(u)[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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