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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Man löse die Differentialgleichung
[mm] y^{(5)} [/mm] = [mm] y^{(4)} [/mm] + [mm] 2y^{(3)} [/mm] − [mm] 2y^{(2)} [/mm] − y' + y |
Hallo,
da ich noch nicht einmal eine Idee habe, wie ich auf eine Lösung geschweigedenn auf einen Lösungsansatz komme, wollte ich mal fragen, ob mir jemand sagen könnte, wie ich an diese Aufgabe rangehen muss.
Danke wie immer schon mal im vorhinein.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:55 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
wenn du alle Ypsilons  auf eine Seite bringst, hast du eine homogenen DGL die du mit dem Ansatz: [mm] y_p=e^{\lambda} [/mm] lösen kannst. Allerdings musst du dabei wissen, wie man mit mehrfachen Nullstellen des charakteristischen Polynoms umgeht. Solltest du das wirklich zu Fuß ausrechnen wollen, dann kommst du um das Schema "Variation der Konstanten" nicht herum.
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:08 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Solltest du das wirklich zu Fuß ausrechnen wollen,
> dann kommst du um das Schema "Variation der Konstanten"
> nicht herum.
Hallo Herby,
wie meinst Du das ??
FRED
>
> Lg
> Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:27 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Fred,
> > Solltest du das wirklich zu Fuß ausrechnen wollen,
> > dann kommst du um das Schema "Variation der Konstanten"
> > nicht herum.
>
> Hallo Herby,
>
> wie meinst Du das ??
Irgendwie muss man ja auf die Fundamentalbasis kommen. Ich weiß nicht, ob [mm] y=(C_1+C_2x+C_3x^2)*e^{x}+(C_4+C_5x)*e^{-x} [/mm] von vorne herein verwendet werden darf oder ob es "errechnet" werden muss.
Vielleicht gibt es eine einfachere Herleitung der Fundamentalbasis, das weiß ich nicht - diese Konstantenvariation ist ziemlich umständlich bei höheren Ableitungen.
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Herby,
meine Frage an Dich hatte den folgenden Hintergrund: die Methode "Variation der Konstanten" ist eine Methode zur Bestimmung einer partikuliären Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung. Die oben vorgelegte Dgl. ist aber homogen.
Gruß FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:49 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Fawkes |
Hallo Leute,
also erstmal vorweg, so richtig viel hab ich jetzt nich verstanden, von dem was ihr hier so tolles diskutiert, zumal ich auf ein paar Sachen davon ja so oder so nicht zugreifen kann.
Vielleicht sollte ich euch aber mal einen Überblick geben, was ich bisher so alles weiß, auch wenn das leider nicht so viel ist...
Also ich weiß jedenfalls, dass ein GLS daraus entstehen kann, dass man y'=J*y ausrechnet, wobei J eine Matrix in Jordanschen Normalform ist. Damit hat man ja dann die letzte Gleichung [mm] y_n [/mm] (t) = [mm] C_n [/mm] * [mm] e^{\lambda*t}. [/mm] Für die Gleichungen darüber nimmt man dann [mm] y_{n-1} [/mm] (t) = [mm] C_n [/mm] * t * [mm] e^{\lambda*t} [/mm] + [mm] C_{n-1} [/mm] * [mm] e^{\lambda*t}. [/mm] Wobei Lambda jeweils die Eigenwerte sind.
Jetzt weiß ich zwar nicht so genau wie mir diese Wissen für die Aufgabe helfen soll, jedoch ist es alles, was wir bis dato zu linearen Differentialgleichungen gemacht haben und noch machen werden.
Gruß Fawkes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Herby |
Hi Fawkes,
> Hallo Leute,
> also erstmal vorweg, so richtig viel hab ich jetzt nich
> verstanden, von dem was ihr hier so tolles diskutiert,
> zumal ich auf ein paar Sachen davon ja so oder so nicht
> zugreifen kann.
> Vielleicht sollte ich euch aber mal einen Überblick geben,
> was ich bisher so alles weiß, auch wenn das leider nicht
> so viel ist...
> Also ich weiß jedenfalls, dass ein GLS daraus entstehen
> kann, dass man y'=J*y ausrechnet, wobei J eine Matrix in
> Jordanschen Normalform ist. Damit hat man ja dann die
> letzte Gleichung [mm]y_n[/mm] (t) = [mm]C_n[/mm] * [mm]e^{\lambda*t}.[/mm] Für die
> Gleichungen darüber nimmt man dann [mm]y_{n-1}[/mm] (t) = [mm]C_n[/mm] * t *
> [mm]e^{\lambda*t}[/mm] + [mm]C_{n-1}[/mm] * [mm]e^{\lambda*t}.[/mm] Wobei Lambda
> jeweils die Eigenwerte sind.
> Jetzt weiß ich zwar nicht so genau wie mir diese Wissen
> für die Aufgabe helfen soll, jedoch ist es alles, was wir
> bis dato zu linearen Differentialgleichungen gemacht haben
> und noch machen werden.
da kann ich leider nicht helfen - die JNF ist mir irgendwie nicht in Erinnerung geblieben 
Lg
Herby
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