Differenzenquotient < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f:]-1,1[ [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion, die in [mm] x_0 \in [/mm] ]1-,1[ differenzierbar ist.
Z.Z.: [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0 +h)-f(x_0-h)}{2h}. [/mm] |
Hi,
ich kommen vom normalen Diffenenzenquotient zu:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h}.
[/mm]
dann setzte ich beim zweiten [mm] x_0 [/mm] noch +x-x und setze für [mm] x=x_0+h
[/mm]
dann erhalte ich: [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0 +h)-f(x_0-2h)}{h}
[/mm]
Aber wie kommen ich jetzt weiter?
|
|
| |
|
[mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0 +h)-f(x_0-h)}{2h}.[/mm]
= [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0 +h)-f(x_0)+ f(x_0) - f(x_0-h)}{2h}[/mm] ("die nahrhafte Null")
= [mm]\bruch{1}{2} (\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h}+ \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0) - f(x_0-h)}{h})[/mm]
= [mm]\bruch{1}{2} (\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h}- \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0-h) - f(x_0)}{h})[/mm]
(da h beliebig positiv oder negativ, ersetze h durch -H)
= [mm]\bruch{1}{2} (\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h}- \limes_{H\rightarrow 0} \bruch{f(x_0+H) - f(x_0)}{-H})[/mm]
= [mm]\bruch{1}{2} (\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h}+ \limes_{H\rightarrow 0} \bruch{f(x_0+H) - f(x_0)}{H})[/mm]
= [mm]\bruch{1}{2} (f'(x_0) + f'(x_0))[/mm]
= [mm] f'(x_0)
[/mm]
|
|
|
|
