Differenzenquotient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 So 15.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen alle zusammen!
Also ich hab hier ein paar Aufgaben, bei denen ich Funktionen in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches mit Hilfe des Differenzenquotienten auf Differenzierbarkeit untersuchen soll und dann gegebenenfalls die Ableitung bestimmen soll. Bei der letzten komm ich nun nicht weiter:
f(x)= | x |* x (x [mm] \in \IR)
[/mm]
Hab jetzt erstmal das aufgeschrieben:
lim ( |x+h| *(x+h)- |x| *x) / h
h [mm] \to [/mm] 0
Und wie mach ich jetzt weiter?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 So 15.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Franzie!
Wende die Definition der Betragsfunktion an:
[mm] |x|:=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{} \\ x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Das bedeutet für Deine Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} (-x)*x \ = \ -x^2, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{} \\ x*x \ = \ x^2, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Und nun wie gehabt die beiden Differenzequotienten (linksseitig und rechtsseitg) ermitteln ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Ah, schönen Dank. Das funktioniert. Hab jetzt mit Umformungen rausgekriegt, das der linksseitige Differenzenquotient =-2x ist und der rechtsseitige =2x ist. Und da linksseitige und rechtsseitige Ableitung verschieden sind, gibt es also keine Ableitung für diese Funktion. Richtig?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mo 16.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Franzie,
Dein Ergebnis stimmt - allerdings nur im Punkt x = 0. In allen anderen Punkten müsste der Betrag im links- und rechtsseitigen Grenzwert gleich aufgelöst werden (weil x+h und x-h für kleines h ja das gleiche Vorzeichen haben).
Wenn Du den Fehler selbst nicht findest poste doch Deinen gesamten Rechenweg, dann sieht man auch wo es genau hakt.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Okay, also hier meine Ansätze:
linksseitig: lim [mm] (-(x+h)^{2}+ x^{2}) [/mm] / h
h [mm] \to [/mm] 0
x < 0
= lim [mm] (-x^{2}-2xh-h^{2} +x^{2}) [/mm] / h
h [mm] \to [/mm] 0
x < 0
=lim [mm] (-2xh-h^{2}) [/mm] / h= lim h*(-2x-h) / h= -2x
h [mm] \to [/mm] 0 h [mm] \to [/mm] 0
x < 0 x < 0
rechtsseitig:lim [mm] ((x+h)^{2}+ x^{2}) [/mm] / h
h [mm] \to [/mm] 0
x [mm] \ge [/mm] 0
= lim [mm] (x^{2}+2xh+h^{2} [/mm] - [mm] x^{2}) [/mm] / h
h [mm] \to [/mm] 0
x [mm] \ge [/mm] 0
=lim [mm] (2xh+h^{2}) [/mm] / h
h [mm] \to [/mm] 0
x [mm] \ge [/mm] 0
=lim h*(2x+) / h =2x
h [mm] \to [/mm] 0
x [mm] \ge [/mm] 0
Wo liegt jetzt der Fehler? Hab nicht so genau verstanden, wie du das gemeint hast mit dem punktuell und so.
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Franzie!
Wir betrachten doch gerade die Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ , der wir uns links- bzw. rechtsseitig nähern, oder?
Dann lautet der entsprechende Differenzenquotient doch auch konkret (hier mal der rechtsseitige Grenzwert):
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{+h^2-0}{h} [/mm] \ = \ ...$
Was erhältst Du also für einen konkreten Zahlenwert für den rechtsseitigen Grenzwert? Und analog für den linksseitigen Grenzwert ...
Sind die beiden Werte dann immer noch verschieden?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Also wenn ich deine angefangenen Gedanken zu Ende führe
....lim [mm] (h^{2}-0)/h [/mm] =0
h [mm] \to [/mm] 0
und der linksseitige Grenzwert verhält sich genauso. Also ist doch rechtsseitige = linksseitige Ableitung. Damit existiert also doch die Ableitung der Funktion (auf dem ganzen Definitionsbereich?)
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Franzie!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau so sieht es aus!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mo 16.01.2006 | | Autor: | piet.t |
...wobei bis jetzt alle Stellen x [mm] \ne [/mm] 0 aussen vor geblieben sind. So wie ich die Aufgabe verstanden habe soll für die ja auch die Differenzierbarkeit mit dem Differenzenqotienten untersucht werden.
Allerdings ist das dann ja wieder kein großes Problem, weil für x > 0 ja f(x) = [mm] x^2 [/mm] von links und rechts und entsprechend für x<0 f(x) = [mm] -x^2.
[/mm]
Aber gehört wohl auch zur vollständigen Lösung der Aufgabe...
Gruß
piet
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