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| Aufgabe | (a) Geben Sie eine homogene linieare Differenzengleichung an, die [mm] y_{t}=sin( \bruch{ \pi *t}{2}) [/mm] als eine spezielle Lösung hat.
(b) Wie lautet die allgemeine Lösung der Differenzengleichung von (a)
(c) Wie lautet jene spezielle Lösung von (b), für die [mm] y_{0} [/mm] = [mm] y_{1}=5 [/mm] ?
(d) Drücken Sie die Lösung von (c) ohne Verwendung einer Winkelfunktion aus ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1a) Ich hätte gesagt
[mm] y_{t} [/mm] = [mm] y_{t}^{h} [/mm] + [mm] y_{t}^{s}
[/mm]
[mm] y_{t}^{h} [/mm] = [mm] A*(-a)^{t}
[/mm]
[mm] y_{t}^{s} [/mm] = [mm] \bruch{s}{a + 1}
[/mm]
s = sin( [mm] \bruch{ \pi *t}{2})
[/mm]
a = 1
[mm] y_{0}=5
[/mm]
5 = [mm] A*(-a)^{t} [/mm] * [mm] \bruch{s}{a + 1}
[/mm]
5 = [mm] A*(-1)^{0} [/mm] * [mm] \bruch{\sin( \bruch{ \pi *0}{2})}{1+1}
[/mm]
A = 5
und für [mm] y_{1} [/mm] rechnen wir genau so
--------------------------------------------------------------------------------------------
Nur ein Freund meint man muss folgende Formel nehmen
[mm] y_{t} [/mm] = [mm] r^{t}*(A1*\cos(\phi*t) [/mm] + [mm] A2*\sin(\phi*t))
[/mm]
r = 1 -> Keine Ahnung woher man das weiss
[mm] y_{t} [/mm] = [mm] r^{t}*(A1*\cos( \bruch{\pi*t}{2}) [/mm] + [mm] A2*\sin(\bruch{\pi*t}{2})
[/mm]
Woher weiss ich das aus [mm] \cos(\phi*t) [/mm] plötzlich [mm] \cos( \bruch{\pi*t}{2}) [/mm] wird?
Und wieso verwende ich überhaupt einen Cosinus wenn meine Ausgangsformel [mm] y_{t}=sin( \bruch{ \pi *t}{2}) [/mm] lautet ?
Für [mm] y_{0} [/mm] = 5
t = 0
[mm] y_{t} [/mm] = 5
A1 = 5
5 setze ich dann in die Gleichung für [mm] y_{1} [/mm] = 5 ein
5 = [mm] 1^{1}*(5*\cos( \bruch{\pi*1}{2}) [/mm] + [mm] A2*\sin(\bruch{\pi*1}{2})
[/mm]
A2 = 1,85
Lösung lautet nun:
[mm] y_{t} [/mm] = [mm] 1^{t}*(5*\cos( \bruch{\pi*t}{2}) [/mm] + [mm] 1,85*\sin(\bruch{\pi*t}{2})
[/mm]
---------------------------------------------------------------------------------------------
Welche Formel stimmt nun ?
Und habe ich es richtig gerechnet ?
Ich dachte diese [mm] y_{t} [/mm] = [mm] r^{t}*(A1*\cos( \bruch{\pi*t}{2}) [/mm] + [mm] A2*\sin(\bruch{\pi*t}{2}) [/mm] Formel verwendet man nur, wenn bei einer quadratischen Gleichung komplexe Zahlen raus kommen ?
Wie funktionert (d)
und was meinen die bei (a) ?
Vielen Dank im voraus
Frankster
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Frankster |
Ich denke ich habe die Lösung!
Und zwar funktionert das ganze so:
Ich soll ein [mm] y_{t} [/mm] finde dass mir [mm] sin(\bruch{\pi}{2}*t) [/mm] ausspuckt
Die allgemeine Form lautet:
[mm] y_{t}=r^{t}*(A_{1}+\cos(\phi*t)+(A_{2}*\sin(\phi*t))
[/mm]
Jetzt weiss man dass [mm] A_{2}=1 [/mm] weil sonst wäre [mm] sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] nicht erfüllt
[mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] = 90° -> somit weiss ich dass [mm] \phi=90°
[/mm]
Jetzt brauch ich mir nur mehr [mm] A_{1} [/mm] ausrechnen
[mm] y_{0}=y_{2}=-5
[/mm]
Wir rechnen für [mm] y_{0}=-5
[/mm]
[mm] -5=1^{0}*(A_{1}+\cos(90*0)+(1*\sin(90*0))
[/mm]
[mm] A_{1}=-5
[/mm]
Wir rechnen für [mm] y_{2}=-5
[/mm]
[mm] A_{1}=-5
[/mm]
[mm] y_{t}=sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] ist nur dann gegeben wenn [mm] y_{t} [/mm] das t ungerade ist, und wenn r = 1 -> weil sonst hauts mir alles wieder über den Haufen ;)
Bsp:
t=1
[mm] y_{t}=1^{1}*(-5*\cos(90*1)+(1*\sin(90*1))
[/mm]
[mm] \cos(90)=0
[/mm]
[mm] \sin(90)=1
[/mm]
Erg:
[mm] y_{1}=0+1*sin(\bruch{\pi}{2}*1)
[/mm]
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Nur wie stellt man jetzt
[mm] y_{t}=1^{t}*(-5*cos(90*t)+1*sin(90*t))
[/mm]
ohne die Winkelfunktionen dar ?
PS:
Könnte man es vielleicht so lösen ?
[mm] \sin(\phi)=\bruch{b}{r}
[/mm]
[mm] b=\sin(\phi)*1
[/mm]
[mm] \cos(\phi)=\bruch{a}{r}
[/mm]
[mm] a=\cos(\phi)*1
[/mm]
[mm] y_{t}=1^{t}*(-5*a+1*b)
[/mm]
Mfg
Frankster
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 17.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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