Differentiation: Produktregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Satz:
Sind $f,g : U [mm] \rightarrow \mathbb{R}^n$ [/mm] und $h : U [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] bei $x [mm] \in [/mm] U [mm] \re \mathbb{R}^m$ [/mm] differenzierbar.
Dann gilt die Produktregel
$D(h [mm] \cdot [/mm] f)(x) = f(x)Dh(x) + h(x)Df(x)$ |
hi
Dieser Satz samt Beweis ist aus unserem Skript. Allerdings verstehe ich beim Beweis 2 Dinge nicht. Hier also erstmal der Beweis laut Skript:
$O(y)$ bzw $o(y)$ sind Landau Symbole
Differnzierbarkeit von f und h ist vorausgesetzt, es gilt also:
$f(x+y) - f(x) = Df(x)y + o(y)$
$h(x+y) - h(x) = Dh(x)y + o(y)$
$ h(x+y) f(x+y) - h(x) f(x) = $
$ = f(x+y) (h(x+y) - h(x)) + h(x) (f(x+y) - f(x)) = $
$ = (f(x) + Df(x)y + o(y)) (Dh(x)y + o(y)) + h(x)(Df(x)y + o(y)) = $
$ =(f(x) + [mm] \textcolor{red}{O(y)}) [/mm] (Dh(x)y + o(y)) + h(x) (Df(x)y + o(y))= $
$ = f(x)Dh(x)y + h(x)Df(x)y + o(y) = $
$ =[f(x)Dh(x) + [mm] h(x)Df(x)]\textcolor{red}{y} [/mm] + o(y) $
Mein Fragen beziehen sich auf die rot markierten Ausdrücke.
1. Warum darf ich $Df(x)y + o(y)$ einfach als $O(y)$ schreiben?? Diese Landau-Symbole sind mir immer noch nicht so ganz geheuer...
und sehe ich das richtig: in der nächsten Zeile wurden dann alle $O(y)$ und $o(y)$ Ausdrücke zusammengefasst als $o(y)$? Das hätte für mich zumindest Logik 
2. Was ist mit dem $y$ in der letzten Zeile passiert? Denn in meiner Formel aus dem Satz habe ich kein $y$ mehr. Dass das $o(y)$ als Restglied wegfällt ist mir klar - warum fällt das $y$ weg?
Wäre super wenn mir das jemand erklären könnte 
Gruß GB
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Sa 13.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Satz:
> Sind [mm]f,g : U \rightarrow \mathbb{R}^n[/mm] und [mm]h : U \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> bei [mm]x \in U \re \mathbb{R}^m[/mm] differenzierbar.
> Dann gilt die Produktregel
> [mm]D(h \cdot f)(x) = f(x)Dh(x) + h(x)Df(x)[/mm]
> hi
> Dieser Satz samt Beweis ist aus unserem Skript. Allerdings
> verstehe ich beim Beweis 2 Dinge nicht. Hier also erstmal
> der Beweis laut Skript:
>
> [mm]O(y)[/mm] bzw [mm]o(y)[/mm] sind Landau Symbole
>
> Differnzierbarkeit von f und h ist vorausgesetzt, es gilt
> also:
> [mm]f(x+y) - f(x) = Df(x)y + o(y)[/mm]
> [mm]h(x+y) - h(x) = Dh(x)y + o(y)[/mm]
>
> [mm]h(x+y) f(x+y) - h(x) f(x) =[/mm]
> [mm]= f(x+y) (h(x+y) - h(x)) + h(x) (f(x+y) - f(x)) =[/mm]
>
> [mm]= (f(x) + Df(x)y + o(y)) (Dh(x)y + o(y)) + h(x)(Df(x)y + o(y)) =[/mm]
>
> [mm]=(f(x) + \textcolor{red}{O(y)}) (Dh(x)y + o(y)) + h(x) (Df(x)y + o(y))=[/mm]
>
> [mm]= f(x)Dh(x)y + h(x)Df(x)y + o(y) =[/mm]
> [mm]=[f(x)Dh(x) + h(x)Df(x)]\textcolor{red}{y} + o(y)[/mm]
>
> Mein Fragen beziehen sich auf die rot markierten
> Ausdrücke.
>
> 1. Warum darf ich [mm]Df(x)y + o(y)[/mm] einfach als [mm]O(y)[/mm]
> schreiben?? Diese Landau-Symbole sind mir immer noch nicht
> so ganz geheuer...
$o(y)/y$ geht für [mm] $y\to [/mm] 0$ gegen 0. $O(y)/y$ bleibt für [mm] $y\to [/mm] 0$ beschränkt. Offensichtlich ist $Df(x)y [mm] \in [/mm] O(y)$, denn [mm] $\bruch{Df(x)y}{y} [/mm] = Df(x)$ hängt nicht von y ab. Wenn du $o(y)$ draufaddierst, was schneller gegen 0 geht als $O(y)$, bleibt die Summe in $O(y)$
> und sehe ich das richtig: in der nächsten Zeile wurden
> dann alle [mm]O(y)[/mm] und [mm]o(y)[/mm] Ausdrücke zusammengefasst als [mm]o(y)[/mm]?
> Das hätte für mich zumindest Logik
Ja, das Produkt aus beiden geht schneller gegen 0 als y und ist damit $o(y)$.
> 2. Was ist mit dem [mm]y[/mm] in der letzten Zeile passiert? Denn in
> meiner Formel aus dem Satz habe ich kein [mm]y[/mm] mehr. Dass das
> [mm]o(y)[/mm] als Restglied wegfällt ist mir klar - warum fällt das
> [mm]y[/mm] weg?
Du hast vergessen, dass du in der Definition des Differentialquotienten durch y dividierst, bevor du den Grenzwert bildest.
Viele Grüße
Rainer
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vielen lieben dank für die erklärung - jetzt ist mir das ganz klar
gruß, GB
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